FundInt / Лекции профессора Б.С. Ишханова 2009 / pdf / l_01
.pdfПринципотносительности
Согласно принципу относительности Галилея законы механики остаются неизменными во всех инерциальных системах отсчета, движущихся с постоянной скоростью v друг относительно друга.
Для того, чтобы выразить положение тела в одной из этих систем отсчета через координаты другой системы отсчета, используют преобразования Галилея.
Если система x', y', z', t' движется относительно неподвижной системы x, y, z, t со скоростью v, направленной вдоль оси z, то связь между пространственными и временными координатами при переходе от одной системы к другой в механике Ньютона описывается с помощью преобразований Галилея.
Расстояние является характеристикой пространства. Длительность (временной промежуток между двумя событиями) является характеристикой времени. Следовательно, скорость связывает понятия пространства и времени.
Событие описывается четырьмя переменными: три определяют положение тела в пространстве, четвертая — во времени.
В механике Ньютона время является абсолютной величиной, не зависящей от системы отсчета — одинаковой во всех системах отсчета. Казалось очевидным, что расстояние между двумя точками в пространстве в данный момент времени является абсолютной величиной, не зависящей от способа наблюдения. То же самое относилось и к интервалу времени между двумя событиями. Однако такой способ описания оказался непригодным для описания электромагнитных явлений. Разрешение этой проблемы привело к созданию специальной теории относительности.
Математической основой специальной теории относительности является преобразование Лоренца. Полная энергия E и импульс P частицы зависят от системы отсчета. Если энергия E и импульс P измеряются в двух различных системах, движущихся друг относительно друга, то энергия и импульс будут иметь в этих системах различные значения. Однако величина E2 – p2c2 будет в обоих системах одинаковой. Она является лоренцевым инвариантом.
Полная энергия E, импульс P и масса M связаны соотношением.
E 2 − p2 c2 = m2 c4
Масса не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Пример
Определить скорость частицы V, кинетическая энергия которой равна её энергии покоя.
_________________
Полная энергия релятивистской частицы
E =T +mc2 = |
|
mc2 |
||
|
1-v2 /c2 |
|||
В случае T = mc2, получаем |
|
|||
|
|
|
||
2mc2 = |
|
mc2 |
||
|
|
|
|
|
1-v2 /c2
откуда V = 23 c = 0.87 c.
Пример
Рассчитать время жизни мюона с кинетической энергией T > mc2 (m - масса мюона)
______________
Используя релятивистские соотношения для полной энергии Е, кинетической энергии Т и импульса Р
Е2 = с2р2 + m2с4
T = E – mc2
|
|
|
p = |
|
mv |
|
|
|
Получим |
|
1-v2 /c2 |
|
|||||
|
|
|
||||||
τ |
|
|
|
T + mc2 |
||||
τ |
lab |
= |
|
≈τ |
||||
|
|
|
mc2 |
|||||
|
|
1- v2 / c2 |
||||||
|
|
|
||||||
τ ≈ 2 10-6 c.
Зачемнужны ускорители?
= p , E2 = c2 p2 +m2c4
Ускорители
Основными источниками пробных частиц в субатомных экспериментах являются ускорители. Атомные ядра и частицы занимают очень малые области пространства, Исследование таких масштабов требует высокой разрешающей способности пучка, обеспечивающей взаимодействие пробной частицы с отдельным микрообъектом. Чем меньше микрообъект, тем он прочнее и проведение экспериментов с перестройкой или разрушением внутренней структуры такого объекта также требует большей энергии. Зная размеры изучаемого объекта, легко оценить энергию пробных частиц, необходимую, для его изучения. Длина волны пробных частиц зависит от её импульса и дается формулой де Бройля.
λ = |
h |
≈ |
2π |
с ≈ |
2π 200 МэВ Фм |
|
p |
E |
Е(МэВ) |
||||
|
|
|
Порогреакции
Частица массы m1 налетает на покоящуюся частицу массы m2 . В результате реакции в конечном состоянии образуется n частиц с
массами m ′, …, m ′. |
|
1 |
n |
Законы сохранения импульса и энергии |
|
|
p1 = p1′ + p2′ +…+ pn′, |
|
E1 +m2c2 = E1′ + E2′ +…+ En′. |
Энергия E и импульс частицы p связаны соотношением |
|
|
E2 = m2c4 +c2 p2 . |
Величина |
(∑Ei )2 −(c∑pi )2 = inv является релятивистским |
инвариантом, т.е. одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
На пороге реакции все частицы в конечном состоянии покоятся друг относительно друга. Поэтому вычислим релятивистский инвариант в начальном состоянии в лабораторной системе координат и в конечном состоянии в системе центра инерции.
(E1 +m2c2 )2 −c2 p12 = (m1′ +m2′ +mn′)2 c4 = (∑mi′)2 c4 .
Выразив импульс p1 первой частицы через её кинетическую
энергию T1, |
|
|
|
|
|
|
|
c2 p 2 |
= E 2 |
−m 2c4 |
, |
T = E −m c2 |
, |
||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
получим формулу для пороговой кинетической энергии налетающей частицы
Eпорог = (∑mi +m1 +m22)m∑2 mi ′ −m1 +m2 c2 .
Энергия реакции Q равна изменению суммарной массы частиц
Q = (∑mi −m1 −m2 )c2 .
Порогреакции
E2 =c2p2 +m2c4
m1 |
mi |
|
m2 |
||
|
|
Энергия реакции Q |
|
|
Q = (m -m -m )c2 |
|
|
i 1 2 |
|
Eпорог = |
(mi -m1 -m2 ) (mi +m1 +m2 ) |
c2 |
|
||
|
2m2 |
|
Нерелятивистский случай
Eпорог = |
|
Q |
|
|
1+ |
m1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
m2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Пример
Рассчитайте порог реакции
p + p = p + p + p + p
При столкновении двух протонов p образуется антипротон p и три протона.
Масса антипротона равна массе протона.
Eпорог = |
(mi -m1 -m2 ) (mi +m1 +m2 ) |
c2 |
||
|
|
|||
|
|
2m2 |
||
Eпорог = |
|
2mp ×6mp |
=6mp = 5.6GeV |
|
|
|
|||
|
|
2mp |
||
1931 Нейтрино υ
В. Паули выдвинул гипотезу о существовании нейтрино для объяснения спектра электронов β-распада.
Wolfgang Pauli n → p + e− +υe (1900-1958)
E2
Qβ E1
Нейтрино
Изучение явления β-распада поставило перед физиками серьезную проблему. Экспериментальные факты казались несовместимыми с законами сохранения энергии, импульса и момента количества движения. Для того, чтобы спасти эти законы, В. Паули в 1931 г. высказал предположение, что в процессе β-распада наряду с электроном, который легко наблюдается, должна рождаться еще одна легкая частица с нулевым зарядом, нулевой массой покоя и спином s = 1/2. Поскольку нейтрино испускалось вместе с электроном в процессе β-распада, оно могло уносить недостающую энергию, импульс и момент количества движения. Для того чтобы проверить гипотезу Паули, необходимо было обнаружить нейтрино. Однако свойства нейтрино, предсказанные Паули, делали наблюдение ее чрезвычайно трудной задачей. Нейтрино должно было очень слабо взаимодействовать с веществом. Нейтрино может пролетать тысячи километров вещества без взаимодействия. Сечение взаимодействия нейтрино с энергией несколько МэВ с атомными ядрами ~10-34 см2. Экспериментальные попытки непосредственно зарегистрировать нейтрино продолжались почти двадцать лет. Лишь в 1953 году в результате очень сложного эксперимента Ф. Райнесу и К. Коэну удалось зарегистрировать антинейтрино.