14.3. Дисконтированная стоимость облигации

Облигация представляет собой обязательство, согласно которому заемщик согласен уплатить держателю облига­ции (кредитору) определенную сумму денег. Предполо­жим, промышленная облигация (облигация, выпускаемая какой-нибудь корпорацией) приносит доход в 100 долл. за год на ближайшие десять лет и конечный дивиденд в 1000 долл. по прошествии 10 лет. Сколько вам придется заплатить за подобную облигацию? Чтобы определить сто­имость облигации, нам надо просто рассчитать дискон­тируемую сумму дохода:

100 долл. , 100 долл. I 100 долл. I ₊ R "T" (1+R)² "t" (1 + R)³

I 1000 долл.

100 долл.

Опять-таки дисконтируемая стоимость облигации зависит от ставки процента. На рис. 14.1 показана стоимость об-. лигации (дисконтируемая стоимость дивидендов) при ставке процента до 20. Отметим, что, чем выше ставка процента, тем ниже стоимость облигации. При ставке в 5 % облигация стоит 1386 долл., но при ставке в 15 % она стоит лишь 749 долл.

406

U 0,05 0,10 0,15 0,20

Ставка процента

Рис. 14.1. Дисконтированная сумма дохода от стоимос­ти облигаций.

БЕССРОЧНЫЕ ОБЛИГАЦИИ

Бессрочные облигации представляют собой вид ценных бумаг, которые обеспечивают выплату постоянной суммы денег каждый год на протяжении неограниченного срока. Сколько стоит бессрочная облигация с дивидендом в 100 долл. в год? Дисконтированная сумма дохода равна

рг\у __ 100 долл. , 100 долл. "*" (1+R)²

100 долл. , 100 долл.

³ """

1+R (1+R)² (1 + R)³ """ (1 + R)⁴

Эта формула имеет бесконечное количество слагаемых. К счастью, нет нужды подсчитывать и прибавлять все эти слагаемые, чтобы получить стоимость такой бессроч­ной облигации; суммирование может быть выражено про­стой формулой:

PDV= 100долл./Я.

(14.2)

Таким образом, если ставка процента равна 5 %, стоимость бессрочной облигации равна 100 долл./0,05 = 2000 долл., но если ставка составляет 20 %, то стоимость бессрочной облигации равняется всего 500 долл.

РЕАЛЬНЫЙ ДОХОД ПО ОБЛИГАЦИЯМ

Многие промышленные и большинство государствен­ных облигаций продаются на рынке облигаций. Стои­мость продаваемой облигации может быть определена не­посредственно по ее рыночной цене — именно по той

407

стоимости, о которой договорились продавцы и покупате­ли облигации. Таким образом, зачастую мы можем опре­делить стоимость облигации, но для того чтобы сравнить облигацию с другими видами инвестиций, необходимо оп­ределить ставку процента, соответствующую данной об­лигации.

Уравнения (14.1) и (14.2) показывают, как стоимость двух различных облигаций, зависящую от ставки процен­та, используют для дисконтирования будущих доходов. Эти уравнения можно «развернуть», чтобы показать зави­симость стоимости облигации от ставки процента. Это осо­бенно легко сделать в случае с бессрочной облигацией. Предположим, рыночная цена (а значит, и стоимость) бессрочной облигации равна P. Тогда из уравнения (14.2) следует, что P = 100 долл./R, a R = 100 долл./Р. Поэтому если цена бессрочной облигации 1000 долл., то ставка про­цента R=IOO долл./ЮОО долл. = 0,10, или 10%. Эту ставку процента называют реальным доходом, или нормой прибыли. Это процент прибыли, получаемой от инвести­ций в бессрочные облигации.

Труднее подсчитать реальный доход по облигации на предъявителя сроком на 10 лет (уравнение (14.1)). Если цена облигации P, мы можем записать уравнение (14.1) как

р__ 100 долл. ,

"*"

1000 долл. i 100 долл. (1 +R)² ~*~ (1 +R)³

_i_ 100 долл. "*" (l + R)¹⁰ '

100 долл (1 + R)

0 +

При условии что цена P известна, данное уравнение должно быть решено относительно R. Мы не можем вы­разить R через P с помощью простых формул, хотя имеются доступные способы вычислений, иногда осущест­вимые и с помощью простого калькулятора. Рис. 14.2, изображающий ту же кривую, что и на рис. 14.1, показы­вает, как R зависит от P для данной облигации. Отметим, что, если цена облигации равна 1000 долл., реальный доход составляет 10 %. Если цена возрастает до 1300 долл., рисунок показывает, что реальный доход снижается до 6 %. Если же цена падает до 700 долл., реальный доход поднимается до 16%.

Доходы могут существенно различаться для различных облигаций. Обычно промышленные облигации приносят больший доход, чем государственные, как показывает пример 14.2, а облигации некоторых корпораций дают

408

т til с долл

1,1(1 0,15 0,20

Ставка процента

Рис. 14.2. График получения дохода с облигации

намного больший доход, чем облигации других компаний. Одна из наиболее важных причин этого заключается в том, что различные облигации связаны с разной сте­пенью риска. Правительство США вряд ли пойдет на не­выполнение обязательств (не станет платить дивиденды) по своим облигациям в отличие от частных корпораций. В то же время ряд корпораций, более сильных в финан­совом отношении, менее склонны к нарушению обяза­тельств по облигациям, чем другие. Как мы видели в гл. 5, чем более рискованны инвестиции, тем большего дохода требует вкладчик. В итоге облигации, связанные с боль­шим риском, приносят больший доход.

Пример 14.2 ДОХОДЫ ПО ПРОМЫШЛЕННЫМ ОБЛИГАЦИЯМ

Чтобы показать, как подсчитываются доходы по про­мышленным облигациям и чем могут отличаться облига­ции одной корпорации от облигаций другой, изучим до­ходы по двум облигациям на предъявителя — по обли­гациям фирмы «Аи Би Эм» и фирмы «Бетлихэм Стал». Номинальная стоимость каждой 100 долл.; это означает, что, когда наступает срок платежа, ее владелец получит конечный дивиденд в размере 100 долл. Выплата дивиден­дов по каждой облигации происходит раз в полгода.

Мы подсчитываем доходы по облигации, используя курс на момент окончания работы биржи 4 августа 1987 г. На страницах газет 5 августа появилась следующая ин-

409

формация по облигациям: Облигации «Аи Би Эм»: 10'/4 95 9,6 20 107 107 107 + '/2 Облигации «Бетлихэм Стил»: 9sOO 12,9 136 71³/8 70 70 ...

Что означают эти цифры? Для «Аи Би Эм» 10'/4 оз­начает реальный доход через год. По данной облигации выплачивается 5,125 долл. раз в полгода при общей сумме за год 10,25 долл. Цифра 95 означает, что срок облигации кончается в 1995 г. (в этом году ее держатель получит 100 долл.). Следующая цифра 9,6 представляет собой годовой процент выплат по облигации, деленный на курс на момент окончания работы биржи (т. е. 10,25/107). Цифра 20 означает число облигаций фирмы, проданных в этот день. Три последующие цифры (107, 107, 107) представляют собой самый высокий, самый низкий курс данной облигации за этот день и курс на момент оконча­ния работы биржи по данной облигации. Наконец, +'/2 означает, что курс облигации на момент закрытия биржи был на '/2 пункта выше, чем накануне.

Каков доход по данной облигации? Для простоты предположим, что выплаты дивидендов производятся раз в год, а не в полгода. (Ошибка при этом будет незначи­тельной.) Так как срок облигации истекает в 1995 г., вы­платы по ней продлятся восемь лет (1995—1987). Тогда курс выражается следующим уравнением:

10,25 | 10,25 | 10,25 , , 10,25

107 =

(1 + R)"

100

(1+R)⁸

Данное уравнение должно быть решено относительно R. Можете убедиться сами, что R* = 9 %.

Таким же образом определяется и доход по облига­циям «Бетлихэм Стил». Выплаты процентов по данной об­лигации составляют 9 долл. в год. Срок облигации исте­кает в 2000 г., ее номинальная стоимость 70 долл. Так как до истечения срока облигации остается 13 лет, урав­нение расчета дохода по ней будет иметь вид

70 = ^ + ^Цт7 + - ⁹ • ' ⁹ '

R)^J

R)'

100

R)'

Решение данного уравнения относительно R дает 14,2 %. Почему доход по облигации «Бетлихэм Стил» на­много выше, чем по облигации «Аи Би Эм»? Потому, что

410

первая связана с большей степенью риска. В 1987 г. и на протяжении нескольких предшествующих лет цены на сталь значительно упали, и фирма «Бетлихэм Стил» стала нерентабельной. Принимая во внимание неопределенную финансовую ситуацию, вкладчики капитала потребовали более высокой прибыли, прежде чем покупать облига­ции фирмы.