belousova_method_2

u1

−u2

1

2 →=inf−

−

u

u

e

) u(I

при о грани чени ях

+ £

³

³ . 0

u, 0

u, u1 u

2

1 1

2

ЗАД АЧА Н А У С Л О В Н Ы Й Э К С Т РЕ МУ М С О Г РАН И ЧЕ Н И ЯМИ

Т И П А РАВ Е Н С Т В И Н Е РАВ Е Н С Т В

П о с т авлена задача

I(u) → min,

(15)

при

у с ло ви и , чт о

+

=

}.≤ k

,...(16), 1 =s

j=, 0

n

i

j

) u(

Задачу (15),(16) мо жно

с вес т и кзадаче на у с ло вныйэкс т рему м с

о грани чени ями т и па равенс т в. В ведем но вые переменные:

=

+

j

=

+

k

).

w

,...,

w(

w; k

,...,

1

Т о гда задача при мет ви д

1 s

I(u,w) = I(u) → min,

(17)

i

=

=

, s

,...,

1

i, 0

)gu(

(18)

2

+

+=

. k= ,...,

1

s

j , 0

w(19)u(h

j

j

Задачи (15),(16) и (17)-(19) экви валент ны в с леду ющем с мыс ле: ес ли

*

* ) являетw, (u с я т о чко йло кально го

экс т рему ма для задачи (17)-(19), т о

u* - т о чка ло кально го

экс т рему ма для задачи (15),(16). И нао бо ро т , ес ли

u* - т о чка ло кально го

экс т рему ма для задачи (15),(16), т о

с у щес т ву ет

вект о р w* , т ако йчт о т о чка

*

* ) -w,т о (чкаu ло кально го экс т рему ма для

задачи (17)-(19).

АЛ Г О РИ Т М РЕ Ш

Е Н И Я ЗАД АЧИ

Со с т авляем ф у нкци ю Л агранжа

s1

s

+ ) u( hλ

+

) u(= λg

L

) u(I

å

åμ

0

i=1

i i

j=1

j j

2. i

=

=

;s

,..., 1

i, 0 )gu(

3. μ

=

=

s1

-,...у с,ло ви1

яj ,до0jпоjh)лняющейu(

неж ес т ко с т и , где μ j -

неко т о рые чи с ла;

23

В ырази м переменные

u,31uиu,2по дс т ави м и х в чет верт о е и пят о е

у равнени я по с леднейс и с т емы. П о лу чи м

= − λ + μ

= − λ − μ

= − λ

+ μ1 ).

1

( 3 1u ), 1

2( u11 u()

Т о гда

-3=3 ml

+2

ì

1

1

í

= . 0- m) 5 - ml6- ( 2

î

1

1

П о с ледняя с и с т ема и меет

два решени я. П

ерво е: ес ли μ1 = 0, т о

ìl1 = -1

ï

í u1 =1

ï

î 2 u= . 1

Значени е ф ункци о нала равно I(u) = 3. В т о ро йс лу чай: ес ли значени е в

с ко бках равно нулю, т .е.

λ1 +

μ1 +

=

, 0т о

25

6

ì

4

ï

1

l- =

í

7

1

12

ï

1

2 ( 3

7 <) . 0+ -m =

î

Э т о т с лу чайнас не у с т раи вает .

П ример2. М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю

=

31

→ inf

u

u u

) u(I

при о грани чени и

2

2

2

2

+≤1. +u

u

1

2

3

Со с т ави м ф у нкци ю Л агранжа. О на и меет

ви д

+

2 − ). u1

u+

μ + u(

L= uλ u u

2

1

2

1

2

3

320

1

П о с чи т аем час т ные про и зво дные по

вс ем переменным. П о лу чи м

∂L

m u+ 2 u=ul

2

¶u1

1

1

03

¶L

m u+ 2

u= ul

03

1

¶u2

2

1

¶L

m u+ 2

u= ul

1

3

1

20

ì

1

=l0

mu + 2 u u

ï

1

03

2

2

=l0

mu + 2

u u

ï

1

30

1

í

=l0

mu + 2

u u

ï

3

1

20

1

ï

1 (

2

2

2

)=u0

- u1 m+ u +

î

1

2

3

Ес ли мно жи т ель l0 = 0 , т о

с и с т ема при о брет ает

ви д

ì

m1u1 = 0

ï

m1u2 = 0

ï

í

m1u3 = 0

ï

ï

2

2

2

+= .-0 )1mu

u+

(u

î

1

1

2

3

Ес ли

m1 = 0, т о

о грани чени е не выпо лняет с я.

Ес ли ж е m1 ¹ 0, т о

=

= 31

=

.20

uЭ т о uнас не у с т раи вает . П

у с т ь т еперь λ0 = 1, т о гда

и с хо дная с и с т ема бу дет и мет ь ви д

= 0+

mu

2 u u

ì

1

ï

1

2

3

2

= 0+

mu

2

u u

ï

1

1

3

í

= 0+

mu

2

u u

ï

3

1

1

2

ï

2

2

2

)= 0 - 1 m+ u + u

î

1 ( 1

2

3

Ес ли

μ

1

= 0

, т о

=

=

31

= 0 и о граниu uчени е не выпо лнено .

2

æ

1

,

1

,±

1

ö

т о чки ви да ç

÷±. П редлагаем про вери т ь эт о

è

3

3

3

ø

с амо с т о ят ельно .

За да ни я для са м ост

оят

ельной ра бот

ы

1.

М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю

=

31

→ inf

u

u u

) u(I

при о грани чени ях

2

2

2

2

+

u

u

1

2

3 =+ , 1

+

+ u31 = u02.

2.

М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю

2

3

4

® inf

= -

u

u u

) u(I

1

2

3

при о грани чени и

+

+

31 =

2.

18

u

u