METOD_12

43

Ny = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1)},

Nz = {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0)}.

Пример 4. Мажоритарной функцией или функцией голосования принято называть функцию, зависящую от нечетного числа переменных, которая принимает значение 1, если большинство её переменных равны 1. В случае, когда f зависит от 3-х переменных, сднф мажоритарной функции записывается в виде

f(x, y, z) = xyz xyz xyz xyz.

Построение сокращенной днф по методу Блейка для этой функции состоит из следующих этапов:

- применение правила обобщенного склеивания:

f(x, y, z) = (xyz xyz) (xyz xyz) (xyz xyz) =

=xyz xyz xy xyz xyz yz xyz xyz xz;

-применение правила поглощения:

f(x, y, z) = xy yz xz.

Дальнейшее применение этих правил не приводит к появлению новых элементарных конъюнкций. Интервалы Nxy , Nyz и Nxz являются максимальными

Nxy = {(1, 1, 0), (1, 1, 1)}, Nyz = {(0, 1, 1), (1, 1, 1)},

Nxz = {(1, 0, 1), (1, 1, 1)}.

Построенная днф является сокращенной, а также минимальной и кратчайшей для функции f .

Замечание. Следует отметить, что применение правила обобщенного склеивания к элементарным конъюнкциям вида xK и xK и последующее за этим применение правила поглощения равносильно применению к этим конъюнкциям правила простого склеивания. Это упрощает операцию по построению сокращенной днф, что будет продемонстрировано ниже.

В рассматриваемом ранее примере 2 применение метода Блейка приводит к образованию сокращенной днф, состоящей из шести элементарных конъюнкций:

f(x, y, z) = (xyz xyz) (xyz xyz) (xyz xyz) = xz yz xy =

44

=(xz xy) (yz xy) = xz xy yz yz xz = (xz yz) xy yz xz =

=xy xy yz yz xz xz.

Здесь в первой строке в скобки объединяются слагаемые, к которым в последующем применяется правило простого склеивания, во второй строке к объединенным в скобкам элементарным конъюнкциям приме-

f(x1, x2, x3, x4) = (0111011110101000) . Её сднф, что легко проверить, имеет вид:

f(x1, x2, x3, x4) = x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4

x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4.

После попарного склеивания элементарных конъюнкций в сднф получаем:

f(x1, x2, x3, x4) = x1x3x4 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x4 x1x3x4 = = x1x3x4 x1x3 x1x2x4 x1x3x4

Согласно правилам обобщенного склеивания и поглощения имеем: x1x3x4 x1x3 = x1x3x4 x1x3 x1x4 = x1x3 x1x4,

поэтому

f(x1, x2, x3, x4) = x1x3 x1x4 x1x2x4 x1x3x4( x3x2x4.)

Дальнейшее применение метода Блейка не приводит к образованию новых конъюнкций. Поэтому построенная днф является сокращенной для рассматриваемой функции f .

5. Тупиковая днф. После того, как сокращенная днф построена, для получения минимальной (кратчайшей) днф можно воспользоваться тривиальным алгоритмом. Очевидно, что в этом случае его эффективность повышается, но и здесь приходится рассматривать большое число днф, чтобы среди них найти минимальную (кратчайшую) и реализующую функцию f .

Определение 9. Покрытие множества Nf En максимальными интервалами называется неприводимым, если, после удаления из него любого интервала, оно перестает быть покрытием.

Определение 10. Днф функции f называется тупиковой, если ей соответствует неприводимое покрытие множества Nf .

45

Очевидно, что всякая минимальная (кратчайшая) днф является тупиковой.

Пример 6. Рассмотрим функцию f(x, y, z) , заданную набором своих значений f = (11100111) . Её сднф имеет вид:

f(x, y, z) = xyz xyz xyz xyz xyz xyz.

Множество истинности этой функции изображено на рис.3.

Рис. 3

Сокращенной днф этой функции являются

f(x, y, z) = xy yz xz xy yz xz.

Пользуясь этим изображением, нетрудно установить, что тупиковая днф рассматриваемой функции является

D1 = xy xz yz,

D2 = yz xy xz,

D3 = xy xy yz yz,

D4 = xy xz xy xz,

D5 = yz xz yz xz.

Дизъюнктивные нормальные формы D1 и D2 являются минимальными и кратчайшими для функции f(x, y, z) ; D3 , D4 являются тупиковыми днф, но не являются ни минимальными, ни кратчайшими.

Аналогично находятся тупиковые днф в примере 2. Среди них отметим минимальные и кратчайшие:

D1 = xy yz xy,

D2 = xy xz yz.

47

строка). Для покрытия набора (1010) Nf достаточно взять одну из элементарных конъюнкций x1x2x4 или x2x3x4 . Таким образом, мы имеем две тупиковые днф:

f(x1, x2, x3, x4) = x1x4 x1x3 x1x3x4 x1x2x4, f(x1, x2, x3, x4) = x1x4 x1x3 x1x3x4 x2x3x4.

Обе эти днф являются минимальными и кратчайшими.

Упражнения.

13.1. Построить минимальные и кратчайшие днф для следующих функций:

1)(x → y) z ;

2)(xy z)|(x y) ;

3)(x ↓ z) → (y z) ;

4)(x1x2 x3) → (x4 x1) ;

5)x1x2x3 x1x4 x3 ;

6)xy z 1 ;

7)((x|y)|z) → (x y) ;

8)(z ↓ y) ↔ (y → x) ;

9)(x1|(x3 x4)) ↔ x2 ;

10)(x2 ↔ x1x3) ↓ x4 .

U (x1, x2, . . . , xn) = U(x1, x2, . . . , xn) , использовать законы де Моргана

д) см. б); 8.6. Если f(x1, x2, . . . , xn) – самодвойственная функция, то на любой паре противоположных наборов она принимает противоположные значения. Следовательно, число пар наборов, на которых самодвойственная функция f(x1, x2, . . . , xn) принимает значение 1, равно числу пар противоположных наборов (длины n ), т.е. |Nf | = 2n−1 ; 9.2. Пусть f(x1, x2, . . . , xn) принимает противоположные значения на любых двух соседних наборах. Пусть f(0, 0, . . . , 0) = σ , тогда f(α1, α2, . . . , αn) = σ , если число α нечетно и f(α1, α2, . . . , αn) = σ , если α – четно.

f(x1, x2, . . . , xn) = (xi f3(x1, x2, . . . , xn))f4(x1, x2, . . . , xn) , f1, f2, f3, f4 –

булевы функции; 11.3. Две функции.

49

Литература

1.Белоусов А.И. Дискретная математика / А.И. Белоусов, С.Б. Ткачев. - М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 743 с.

2.Лавриков И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. - М.: Физ-мат. лит., 1995. - 255 с.

3.Лихтарников Л.М. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения / Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева. - СПб.: Лань, 1999. - 285 с.

4.Москинова Г.И. Дискретная математика / Г.И. Москинова. - М.: Логос, 2000. - 238 с.

5.Перязев Н.А. Основы теории булевых функций / Н.А. Перязев. - М.: Физматлит, 1999. - 109 с.

6.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику / С.В. Яблонский. - М.: Высш. школа, 2001. - 384 с.

51

Составители: Кацаран Татьяна Константиновна, Кабанцова Лариса Юрьевна

Редактор Тихомирова Ольга Александровна