7. Отношение порядка

Отношения х <у, х> у в множестве дей­ствительных чисел, "человек х меньше че­ловека у" в множестве людей, "яблоко х тяжелее яблока у" в множестве яблок и многие другие отношения обладают общи­ми свойствами, а именно: они транзитивны, асимметричны. Асимметричные и транзитивные отношения встречаются во многих случаях. Поэтому их выделяют в особый класс отношений, называемых от­ношениями строгого порядка.

Опр. Отношение R на множестве X называется отношением нестрого порядка, если оно рефлексивно, антисим­метрично и транзитивно.

Отношения на множестве чиселX являются отношениями нестрогого порядка, так как любое число х  X равно самому себе (рефлексивность).

Для любой пары чисел x, у  X при а b не выполняется ba, а при а b не выполняется bа (антисимметричность). Для лю­бой тройки чисел х, у, z  X, если а b и b с, тоа с или, если а b, bс, то а с (транзитивность).

Опр. Отношение R на множестве X называется отношением строго порядка, если оно антирефлексивно, анти­симметрично и транзитивно.

Отношения <, > на множестве чисел X являются отношения­ми строгого порядка, так как любое число х  X не может быть меньше или больше самого себя (антирефлексивность). Для лю­бой пары чисел х, у  X при х < у не может быть у < х, а при х > у не выполняется у > х (антисимметричность). Для любой тройки чисел х, у, z  X, если х < у, а у < z, то х < z и, если х>у, a у> z, то х > z (транзитивность).

Опр. Множество Х с заданным на нем отноше­нием нестрогого или строгого порядка R называется упорядочен­ным и обозначается парой < X, ρ >.

8. Отображения

В предыдущей главе мы рассмотрели бинарные отношения, которые являются подмножествами декартова произведения двух множеств. Бинарные отношения, определенные на декартовом квадрате множества, представляют наибольший интерес, так как они обладают рядом свойств, которые позволяют выделять такие полезные отношения, как отношения равенства, эквивалентности, порядка. Для отношений, образованных различными множествами, когда ρ ЕхF, говорить о рефлексивности, симметричности и транзитивности уже не имеет смысла, так как первая и вторая координата ρ могут иметь различную природу. Например, отношение «x родился в году у» является подмножеством декартова произведения множества людей и множества лет (подмножества целых положительных чисел) и ставит и соответствие каждому человеку год его рождения. Для исследования подобных отношений вводятся понятия соответствия, отображения, функции.

Опр. Говорят, что между множествами Е и F опре­делено соответствие Г, если задано некоторое произвольное подмножество декартового произведения Е х F. Множество Е называется областью определения, F — областью значений соответствия Г.

Соответствие, обратное Г, обозначим Г^-1, где F — область определения, Е — область значений Г^-1.

Опр. Отображением множества Е на множество F называется такое соответствие, которое каждому элементу хЕ сопоставляет по крайней мере один элементу уF. Тогда элемент у называется образом элемента х, а х — прообразом элемента у, или переменной, или аргументом. Отображение Е в F будем обозначать f: E→F, где f - имя отображения.

Пример. На рис. 1 показано соответствие между множествами Е и F, на рис. 2 — отображение множества Е в множество F.

Рис.1 Рис.2

Опр. Отображение Е на F называется сюръективным, если каждый элемент у  F есть образ по крайней мере одного элемента х  Е, т.е (у = Г(х)).

Каждый элемент из F имеет не менее одного прообраза в Е. На графе соответствия в каждый элемент у входит по крайней мере одна дуга (рис. 3) и обратное отображение Г^-1(у) не пусто.

Рис. 3. Сюрьекция

Опр. Отображение Е в Fназывается инъективным, если каждый элемент у  F есть образ только одного элемента х  Е, либо вообще не имеет прообраза

В этом случае Е инъективно отображается в F. На графе соответ­ствия в каждый элемент у входит самое большее одна дуга. На рис. 4. показана инъекция: в каждый элемент у входит самое большее одна дуга; некоторые элементы у не имеют прообразов в Е.

Рис. 4. Инъекция.

Опр. Если отображение является одновременно и сюрьективным и инъктивным, то оно называется биективным. В этом случае каждый элемент F является образом единственного элемента из Е. На графе соответствия на рис.5 в каждый элемент у входит одна дуга, т.е. при биекции каждый o6paз имеет только один про­образ.

Рис.5 Биекция