матрицы инцидентности

2. Матрица инцидентности

Согласно мистеру Киплингу, девиз семейства мангуст гласит "Пойди и узнай". А.Кристи. Убийство Роджера Экройда

Классическим способом представления графа (V,E) служит матрица инцидентности, представляющая собой матрицу с |V| строками, соот-ветствующих вершинам, и |E| столбцами, соответствующих ребрам (или дугам) графа, причем [Липский,1988,с.84-85]: 1) в случае неориентированного графа столбец, соответствующий ребру {x,y}, содержит 1 в строках, соответствующих вершинам x и y, и 0 - в остальных строках; 2) для ориентированного графа, столбец, соответствующий дуге (x,y)ОE, содержит: (a) (-1) в строке, соответствующей вершине x; (b) 1 в строке, соответствующей вершине y, (c) 0 во всех остальных строках (петлю в вершине x удобно представлять иным значением в строке, соответствующей вершине x, например, 2). Отметим, что: (a) никакие два столбца матрицы инцидентности не идентичны, (b) каждый столбец в матрице содержит две единицы, (c) количество единиц в i-ой строке равно степени вершины i в графе.

Рассмотрим два графа [Бурковский, Холопкина, Райхель, Кравец, 1996]:

(а) ориентированный граф;	(б) неориентированный граф.

Матрицы инцидентности для данных графов имеют следующий вид:

Номера дуг	Номера ребер

С алгоритмической точки зрения матрица инцидентности является, вероятно, самым худшим способом представления графа. Этот способ требует |E|*|V| ячеек памяти, причем большинство этих ячеек занято нулями. Неудобен также доступ к информации. Ответ на элементарные вопросы типа: "Существует ли дуга (x,y)?", "К каким вершинам ведут ребра из вершины x?" требует в худшем случае перебора всех столбцов матрицы, т.е. |E| шагов. Однако матрица инцидентности полезна при решении задач о циклах (или контурах) в теории графов.