2.3.Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

Пусть S – площадь правильного n – угольника, а_n – его сторона, Р – периметр, а, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем сначала, что

S = ½Pr. (1)

В самом деле, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна ½а_nr ( см.рис.п.2.2)

Следовательно,

S = n½a_nr = ½(na_n) r = ½Pr.

Выведем далее следующие формулы:

a_n = 2R sin , (2)

r = R . (3)

Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольникеА₁Н₁О

А₁==۰ 180⁰= 90⁰-.Следовательно,а_n = 2А₁Н₁= 2Rcos( 90⁰-) = 2Rsin, аr=OH₁=Rsin( 90⁰-) =Rcos.

Полагая в формуле (2) n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

а₃ = 2R sin = 2R sin 60⁰ = 2R ۰ = R ; (4)

а₄ = 2R sin = 2R sin 45⁰ = 2R ۰ = R ; (5)

а₆ = 2R sin = 2R sin 30⁰ = 2R ۰ = R; (6)

2.4. Решение задач с применением формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

Для иллюстрации применения данных формул (1) – (6), (п. 2.3.) можно решить задачи.

Задача № 1. Для квадрата со стороной а, вписанного в окружность радиуса R, заполнить таблицу (известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).

N	R	r	a4	P	S
1		3	6	24	36
2		2	4	16	16
3	4			16	32
4		3,5	7	28	49
5		8	4	16	16

Решение.

a₄ = 2R sin = 2R sin 45⁰ = 2R ۰ = R;

r = R cos = R cos 45⁰ = R;

P = 4a; S = a² .

1) a₄ = R, R = , R = = .

r = ۰ = 3.

P = 4a = 4۰6 = 24, S = a² = 36.

2. R= , R = 2,

a₄ = ۰ = 4,

P = 4۰4 = 16, S = 16.

2. r = 4۰ = ,

a₄ = 4۰ = ,

P = 4۰ = , S = 32.

2. a₄ = 28 : 4 = 7,

R = = 3,5۰,

r = 3,5۰ = 3,5,

S = 49.

2. a₄ = 4, P = 16,

R = = ,

r = ۰= 8.

Задача № 2. Для правильного треугольника со стороной а, вписанной в окружность радиуса R, заполнить таблицу (известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).

N	R	r	a3	P	S
1	3	1,5	3	9
2					10
3	4	2	4	12	12
4			5	15
5			2	6

Решение.

а₃ = 2R sin = 2R sin 60⁰ = 2R۰ = R;

r = R cos = R cos 60⁰ = R۰= ;

P = a + b + c = 3a,( т.к. а = b = c), S = .

1) r = = 1,5, a₃ = ,

P = 3۰= , S = .

2) a₃ = = = ,

R = = 2۰۰ = 2۰ = ۰,

r = : = ۰ =

P = ۰2 = .

3) r = 2۰2 = 4, a₃ = ,

P = 3۰ = , S = = .

4) R = = ,

r = : = ۰ = ,

P = 3۰5 = 15, S = .

5) a₃ = 6 : 3 = 2, S = = ,

R = = ,

r = : = ۰ = .

Используя решенные задачи, можно составить таблицу зависимости стороны, радиуса описанной окружности, радиуса вписанной окружности для всех наиболее часто встречающихся правильных многоугольников.

Количество сторон n	а	r	S
3
4			2R2
6	R