Аристотелевская силлогистика
.docАристотелевская силлогистика более 2000 лет была формальной основой логики. В XX столетии ей на смену пришла математическая логика, основные идеи и методы которой нашли применение в современных компьютерных технологиях. Силлогистика отошла на задний план и для подавляющего большинства наших современников представляется анахронизмом. В том варианте, в котором она существовала много веков, ее аналитические возможности намного уступают аналитическим возможностям математической логики.
Однако использовать математическую логику для анализа естественных рассуждений оказывается не так-то просто. В ее аксиоматике и в структурах формул недостаточно отражена структура многих предложений естественного языка. В большей степени этой структуре соответствует структура суждений Аристотелевской силлогистики.
В книге на основе исследований автора предпринята попытка дать вторую жизнь Аристотелевской силлогистике на новом и сравнительно простом для усвоения математическом фундаменте. Это позволяет существенно расширить ее аналитические возможности и область применения. С помощью излагаемого подхода облегчается вывод следствий из произвольного множества посылок, выраженных на близком к естественному языке, находятся ошибки и неопределенности в рассуждениях, проверяются и формируются корректные гипотезы, анализируются известные парадоксы и даже изобретаются новые.
Своеобразной “затравкой” исследований автора стала замечательная книга Льюиса Кэрролла “История с узелками”, в которой анализу естественных рассуждений посвящен большой раздел “Символическая логика”. И хотя здесь пришлось по-иному подойти к математическим основаниям анализа, некоторые незаслуженно забытые идеи Кэрролла, легли в основу нового подхода. Не менее важной находкой оказались многочисленные забавные “сориты” Кэрролла, некоторые из которых использованы в книге в качестве примеров рассуждений.
Новый подход к математическому моделированию естественных рассуждений с определенным приближением можно назвать синтезом Аристотелевской силлогистики и некоторых методов, применяемых в современной математике. Такой синтез позволяет устранить некоторые неточности в силлогистике. Кратко "формула" синтеза заключается в следующем.
1) В качестве основного “элемента” рассуждения принято суждение, т.е. конструкция, которая в упрощенном виде заложена в основе Аристотелевской силлогистики. Эта конструкция состоит из двух частей: в первой части находится субъект суждения, а во второй – некоторое множество предикатов суждения.
2) Рассуждение может содержать произвольную совокупность произвольных суждений.
3) Математической моделью рассуждения является структура, законы которой соответствуют основным законам алгебры множеств.
4) В алгебре множеств выделены и приняты к применению структуры, которые с одной стороны по форме соответствуют суждениям, а с другой – имеют свойства известной математической структуры, которая носит название “частично упорядоченные множества”.
Излагаемый подход доступен для широкого круга читателей. – Основные понятия конечной алгебры множеств даются в школьном курсе математики и информатики и сравнительно легко усваиваются не только старшеклассниками, но и, как показывает опыт, даже учащимися младших классов. Теория частично упорядоченных множеств, является одним из малоизвестных разделов высшей алгебры. Но здесь используется подход, в котором необходимые положения и методы теории частичного порядка рассматриваются на основе легко усваиваемых элементарных понятий теории графов. Таким образом, математическая основа подхода оказывается весьма простой и к тому же достаточной для моделирования и анализа сложных естественных рассуждений.
Структура книги имеет особенности. Автор отказался от разбиения книги на главы. Это связано с тем, что содержание каждого раздела перестает быть понятным без усвоения всех предыдущих разделов и читать книгу выборочно не имеет смысла. Ее следует изучать последовательно и прерывать процесс изучения там, где это перестает быть интересным или полезным для читателя. Исключениями являются два Приложения. В Приложении 1 приведена статья автора “С чем идет современная логика в XXI век?”, которая является переработанным и дополненным вариантом одноименной статьи, опубликованной в журнале “Вестник РФФИ” (№ 3(21), сентябрь 2000 г.). В статье изложена точка зрения автора по некоторым современным проблемам и тенденциям развития современной логики.
В Приложении 2 приведена предназначенная для читателей с хорошей математической подготовкой статья автора, в которой изложены математические аспекты подхода, изложенного по возможности доступно в данной книге.
Основная часть книги содержит 9 разделов. Ниже дается краткий комментарий по ним, из которого читатель может предварительно оценить, читать ли ему эту книгу до какого-то определенного раздела (автор надеется, что до последнего) или же вообще не тратить времени на подробное знакомство с нею.
1. Суждение. Дается более общее по сравнению с Аристотелевской силлогистикой определение суждения и рассматривается соотношение между суждением и логической структурой предложений естественного языка. Каждое суждение выражает некоторые фрагменты наших знаний в виде соотношений: "часть-целое", объекты-свойства", "род-вид", "подмножество-множество".
2. Основные понятия алгебры множеств. Дается краткая историческая справка, а также основные понятия и законы алгебры множеств. Для лучшего понимания материала используются диаграммы Эйлера и многочисленные примеры.
3. E-структуры: определение и основные свойства. Рассматривается новый математический объект "логические структуры Эйлера" (или сокращенно E-структуры). По сути это новый тип частично упорядоченных множеств, у которых введены универсальные правила вывода и операция дополнения, свойства которой соответствуют одноименной операции алгебры множеств. Для большей доходчивости изложения свойства структур с отношением частичного порядка рассматриваются на основе понятий теории графов. Знакомство с элементарными понятиями и методами теории графов приводится в этом же разделе.
Приводится определение и обоснование правил вывода в E-структурах, а также понятие CT-замыкание – структура, которая содержит все исходные суждения и все следствия, полученные в результате применения правил вывода.
4. Коллизии в рассуждениях. Нередко в естественных рассуждениях возникают трудности с распознаванием несовместимости исходных посылок. Для формального анализа таких ситуаций здесь используется аппарат распознавания коллизий в E-структурах. Коллизии распознаются после построения CT-замыкания. С учетом этого E-структуры делятся на два класса: корректные и структуры с коллизиями. Выделено два типа коллизий: коллизия парадокса (когда предположительно значимый термин на самом деле аналитически соответствует в структуре пустому множеству) и коллизия цикла (когда предположительно разные термины на самом деле соответствуют одному и тому же объекту). Во многих (но не во всех) случаях коллизии свидетельствуют о наличии логических ошибок в рассуждении.
5. Инварианты E-структур. Одна и та же структура может быть задана разным составом посылок. Инвариантом таких структур является CT-замыкание. Рассматриваются еще два инварианта E-структур: диаграмма Хассе и минимальное множество посылок. Эти инварианты позволяют оценить независимость заданной системы посылок и заодно существенно уменьшить объем памяти для хранения E-структур.
6. Экзистенциальные суждения. Являются обобщением частных суждений Аристотелевской силлогистики типа “Некоторые A есть B”. Приводятся примеры использования и анализа экзистенциальных суждений, включая известный парадокс “Лжец”. Рассмотрен метод построения всех экзистенциальных суждений, непосредственно содержащихся в заданной корректной E-структуре.
7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез). Понятие “неполноты” применительно к естественным рассуждениям, формализованным с помощью E-структур, рассматривается как существование совокупности невыводимых из данной структуры, но совместимых с ней суждений или E-структур. Такие суждения можно рассматривать как гипотезы. По сути все возможные E-структуры являются неполными в этом смысле. Причем для любой E-структуры существует множество альтернативных пар гипотез, несовместимых друг с другом, но совместимых по отдельности с исходной E-структурой. Если рассматривать неполноту в узком смысле, т.е. ограничиться теми гипотезами, в которых содержатся только термины E-структуры, то в этом случае все корректные E-структуры можно разделить на два класса: полные и неполные. В разделе приводятся методы распознавания неполноты в узком смысле и методы формирования совокупности корректных гипотез.
8. Отрицания в E-структурах. Здесь используется идея многовариантного отрицания, которая стала в последнее время объектом многочисленных исследований в неклассических логиках. Но в отличие от неклассических логик в E-структурах не нарушаются законы булевой алгебры. По сути здесь обобщаются понятия контрарности и контрадикторности в Аристотелевской силлогистике. Например, отрицанием суждения “Все A есть B” может быть контрарное ему “Все A есть не-B” и контрадикторное “Некоторые A есть не-B”. Оказывается, что при соединении контрарных или контрадикторных суждений возникает коллизия парадокса. В E-структурах это условие (т.е. появление коллизии парадокса при соединении) может служить критерием того, что такие взаимно парадоксальные пары являются отрицанием друг друга.
9. Индуктивный вывод. В современной логике индуктивный вывод обычно ассоциируется с понятием вероятности или с формальным и, как правило, недоказуемым анализом причинности. Однако вполне правомерен другой подход к индуктивному выводу, при котором формирование правдоподобных гипотез производится с помощью многовариантного восстановления недостающих звеньев какой-либо дедуктивной структуры. Такое восстановление не всегда бывает однозначным, но окончательный выбор может быть сделан не на основе подсчета вероятностей, а на основе содержательной оценки правдоподобности или совместимости получаемых при восстановлении гипотез. Этот механизм индуктивного вывода, часто применяющийся в практике естественных рассуждений, сравнительно легко формализуется в E-структурах. При этом многие правдоподобные варианты могут быть забракованы даже на стадии формального анализа, когда предполагаемая гипотеза вызывает запрещенные коллизии в самой E-структуре.
Для облегчения решения некоторых задач анализа рассуждений автором разработана вычислительная программа, которую можно получить бесплатно на Web-странице автора книги (ar1program.zip) или связавшись с ним по электронной почте (kulik@msa.ipme.ru).
Автор признателен многим людям, принимавшим участие в обсуждении ряда разделов книги. Особую признательность хотелось бы выразить Л.Н. Романову, чья активная и порой нелицеприятная критика немало способствовала прояснению многих проблем, затронутых в книге, а также преподавательнице школьной информатики Р.Ю. Дамм, которая отважилась на эксперимент по проверке понятности и доступности многих рассмотренных в книге методов анализа рассуждений на учащихся средней школы