Формулы для многочленов и операции над многочленами

Напомним какое выражение называется многочленом.

Одночленом степени (здесь ) называется следующее выражение

где -- коэффициент, - переменная.

Многочленом - ой степени (здесь ) с вещественными коэффициентами называется следующее выражение:

здесь - переменная. Можно сказать, что многочлен - это линейная комбинация одночленнов разных степеней.

Операции над многочленами:

Пусть два многочлена степени и соответственно, т.е.

предположим, что .

1. Сумма и разность многочленов: .

Суммой и разностью многочленов и называется следующий многочлен:

Степень полученного многочлена не превосходит максимальной степени многочленов и .

2. Умножение на одночлен: .

Умножим одночлен на многочлен  :

т.е. каждый член многочлена умножается на одночлен. Здесь применяем правило работы со степенями.

3. Умножение многочленов: .

Умножим многочлен на :

В итоге свели операцию умножения многочленов к умножению одночлена на многочлен. Заметим, что при умножении многочленов степени и получается многочлен степени . При умножении многочленов необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

4. Деление многочленов: .

Разделим многочлен на , т.е. представим выражение в следующем виде:

где -- частное от деления, -- делимое, -- делитель, -- остаток.

При делении многочлена на многочлен , где , нужно найти многочлены и такие, чтобы выполнялось равенство

Существует много способов поиска таких многочленов. В основном используются школьные способы, а именно, деление "уголком" ("столбиком") и метод неопределенных коэффициентов (будут рассмотрены ниже).

2. Деление с остатком. Теорема Безу

Деление с остатком

Определение.Пустьи—многочлены,. Будем говорить, чтоподелен нас остатком, еслипредставлен в виде, гдеи— многочлены, причем.

Полином называется остатком от деленияна,— неполным частным.

Пример..

.

Теорема.(о делении с остатком). Пустьи— полиномы над полем,. Тогда существуют единственные многочленыинад полемтакие, чтои.

Доказательство.Существование.

Пусть .Положим.

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома (фиксируем). Среди всех многочленов, для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его:

Пусть . Положим

Коэффициент при в многочленеравен. Следовательно,. Значит, для многочленатеорема верна. Существуют такиеи, что. Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1) . Значит,,

2) .

Получили противоречие. Этот случай невозможен.

Теорема Безу

Теорема.Остаток от деления многочленана многочленравен.

Доказательство.Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть— остаток.

Это равенство верно при любых значениях .Положим:

Задачи.

1. Проверьте, выполняются ли условия:

1) делится на;

2)делится на.

2.Докажите, что

делится на .

3.Найдите значения параметрови, при которых

делится на .

4.Найдите все значения параметрови, такие, что остаток от деления

на равен.

5.Найдите все натуральные, такие, что

делится на .

6.Известно, что остаток от деления полиноманаравен 2, от делениянаравен 1. Найдите остаток от деленияна.

7.Найдите остаток от деления многочленана.

8.Полиномс целыми коэффициентами принимает значение 5 в пяти различных целых точках. Может ли он иметь целый корень?

Комментарии(RSS)  |Трекбек

33. Відношення подільності. Схема Горнера.

Схема Горнера.

 

Схема Горнера– это алгоритм деления (деление схемой Горнера) многочленов, записываемый для

частного случая, если частное равно двучлену .

 

Построим этот алгоритм:

 

Предположим, что - делимое

 

- частное (его степень, вероятно, будет на  удиницу меньше),

 r-  остаток (т.к. деление осуществляется на многочлен1-ойстепени, то степень остатка будет на

единицу меньше, т.е. нулевая, таким образом, остаток это константа).

 

По определению деления с остатком  P(x) = Q(x) (x–a) + r.  После подстановки выражений многочленов

получаем:

 

 

Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, после чего выражаем

коэффициенты частного через коэффициенты делимого и делителя:

 

 

Удобно вычисления сводить в такую таблицу:

 

 

 В ней выделены те клетки, содержимое которых участвует в вычислениях на очередном шаге.

 

Схема Горнера примеры:

Пусть надо поделить многочлен  на двучленx–2.

 

Составляем таблицу с двумя строками. В 1 строку выписываем коэффициенты нашего многочлена. Во

второй строке будем получать коэффициенты неполного частного по следующей схеме: в первую очередь

переписываем старший коэффициент данного многочлена, далее, дабы получить очередной коэффициент,

умножаем последний найденный на  а=2и складываем с соответствующим коэффициентом

многочлена  F(x).  Самый последний коэффициент будет остатком, а все предыдущие – коэффициентами

неполного частного.

 

 

 

34. Найбільший спільний дільник (НСД). Алгоритм Евкліда.