- •Перелік питань до іспиту з «Алгебри та геометрії» для студентів 1 курсу спец. «комп’ютерна інженерія» 2014-2015 н.Р.
- •Свойства определителей
- •Треугольные матрицы
- •Диагональные матрицы
- •2.10. Приведение матрицы к диагональному виду
- •Ступенчатая матрица
- •Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду
- •Свойства Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
- •Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях
- •Нахождение обратных матриц
- •Ступенчатый вид по строкам
- •Определитель произведения матриц Теорема 2.2 об определителе произведения матриц
- •Обратная матрица
- •Замечание
- •Свойства обратной матрицы:
- •Матричные уравнения
- •Понятие комплексного числа
- •Действительная и мнимая часть комплексного числа
- •Мнимая единица
- •Равные комплексные числа
- •1.2.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Формулы для многочленов и операции над многочленами
- •2. Деление с остатком. Теорема Безу
- •Нахождение нод по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители.
- •Алгоритм Евклида для нахождения нод
- •Нахождение нод с помощью разложения чисел на простые множители
- •Нахождение нод трех и большего количества чисел
- •Нахождение нод отрицательных чисел
- •Кратные корни многочленов
- •Метод Штурма отделения корней многочлена
- •Способы разложения на множители многочлена степени выше второй.
- •Вынесение за скобки общего множителя.
- •Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
- •Гипотеза h
- •Формулировка
- •Частные случаи
- •*4. Основная теорема алгебры
- •Линейные пространства: определение и примеры Аксиомы линейного пространства
- •Следствия аксиом линейного пространства
- •Примеры линейных пространств
- •Изоморфизм линейных пространств
- •Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
- •Прямая сумма подпространств
- •Признаки прямых сумм подпространств
- •Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
- •Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
- •Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
- •Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •Формула вычисления векторного произведения
- •Определение смешанного произведения.
- •Смешанное произведение в координатной форме.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Вычисление смешанного произведения, примеры и решения.
- •Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
- •Уравнение поверхности
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
Диагональные матрицы
Определение
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.
Пример
Определение
Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.
Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.
Пример
Определение
Единичной матрицей называется скалярная матрица порядка , диагональные элементы которой равны 1.
Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто .
Пример
- единичная матрица второго порядка.
2.10. Приведение матрицы к диагональному виду
Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия —
A = TΛT−1
Здесь Λ = diag(λ1,..., λN) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A, а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v1,...,vN).
Например,
Рис. 23 Приведение к диагональному виду
Ступенчатая матрица
Определение
Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:
если эта матрица содержит нулевую строку (т.е. строку, все элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под нею, также нулевые;
если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером , то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем .
Другое определение ступенчатой матрицы.
Определение
Ступенчатой называется матрица, которая содержит строк и у которой первые диагональных элементов ненулевые, а элементы, лежащие ниже главной диагонали и элементы последних строк равны нулю, то есть это матрица вида:
Определение
Главным элементом некоторой строки матрицы называется ее первый ненулевой элемент.
Пример
Задание. Найти главные элементы каждой строки матрицы
Решение. Главный элемент первой строки - это первый ненулевой элемент этой строки, а поэтому - главный элемент строки под номером 1; аналогично - главный элемент второй строки.
Другое определение ступенчатой матрицы.
Определение
Матрица называется ступенчатой, если:
все ее нулевые строки стоят после ненулевых;
в каждой ненулевой строке, начиная со второго, ее главный элемент стоит правее (в столбце с большим номером) главного элемента предыдущей строки.
По определению к ступенчатым матрицам будем относить нулевую матрицу , а также матрицу, которая содержит одну строку.
Пример
Примеры ступенчатых матриц:
, , , ,
Примеры матриц, которые не являются ступенчатыми:
, ,
Пример
Задание. Выяснить, является ли матрица ступенчатой.
Решение. Проверяем выполнение условий из определения:
все строки под первой нулевой строкой матрицы (четвертая строка) являются нулевыми;
первый ненулевой элемент строки № 1 находится во втором столбце, значит, первый ненулевой элемент второй строки должен находиться, по крайней мере, в третьем столбце - выполняется, т.к. первый ненулевой элемент второй строки находится в третьем столбце; аналогично, первый ненулевой элемент третьей строки находится в шестом столбце, а первый ненулевой элемент предыдущей, второй, строки, находится в столбце с номером 3 и 3 < 6.
Итак, заданная матрица является ступенчатой.