Прямая сумма подпространств

Алгебраическая сумма подпространств и линейного пространства называется прямой суммой, если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается и обладает следующим свойством: если , то для каждого вектора существует единственное представление в виде , где.

Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: , где , то получим противоречие: из равенства следует, что ненулевой вектор принадлежит обоим подпространствам и одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора.

Признаки прямых сумм подпространств

Сумма является прямой суммой, если:

– существует вектор , который однозначно представляется в виде , где ;

– базис пространства является объединением базисов подпространств и ;

– справедливо равенство .

Замечания 8.9

1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма называется прямой суммой подпространств, если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору:

2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если — базис пространства , то.

Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми?

Решение. Так как , то сумма — прямая. Аналогично полу чаем, что суммы

 — прямые.

Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми:

поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение .

48. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.

 Расстояние между двумя точками 

где и радиус-векторы точек и .

     В координатах:

     на прямой   

     на плоскости   

     в пространстве   

     Деление отрезка в данном отношении 

     В координатах:

     на прямой   ;

     на плоскости   ,;

     в пространстве   ,,

     Середина отрезка (= 1) 

     В координатах:

     на прямой   ;

     на плоскости   ,;

     в пространстве   , ,   .

49. Скалярний добуток векторів, його властивості ,зміст та застосування.

Геометрическая интерпретация.

 Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация.

 Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} иb = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; ... ; a_n} иb = {b₁ ; b₂ ; ... ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + ... + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

a · a ≥ 0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0   <=>   a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a · a = |a|²

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c