Изоморфизм линейных пространств

Говорят, что между элементами двух множеств и установлено взаимно однозначное соответствие, если указано правило, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , при чем каждый элемент оказывается сопоставленным одному и только одному элементу . Взаимно однозначное соответствие будем обозначать , а соответствующие элементы: .

Два линейных пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:

1) сумме векторов пространства соответствует сумма соответствующих векторов пространства 

2) произведению числа на вектор пространства соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства 

Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции.

Замечания 8.6

1. При изоморфизме линейных пространств и 

– их нулевые элементы соответствуют друг другу ;

– противоположные элементы соответствуют друг другу.

Это следует из определения, если в условии 2 положить или .

2. Линейной комбинации векторов пространства соответствует линейная комбинация соответствующих векторов пространства .

3. Линейно независимой (линейно зависимой) системе векторов пространства соответствует линейно независимая (линейно зависимая) система векторов пространства . Действительно, из пунктов 1,2 следует, что равенства и равносильны. Если не все коэффициенты равны нулю, то обе системы и линейно зависимы, в противном случае, обе системы линейно независимы.

4. Любое n-мерное линейное вещественное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству , а л -мерное комплексное пространство изоморфно .

Это следует из пункта 4 замечаний 8.5, где установлено взаимно однозначное соответствие между векторами и координатными столбцами. Линейные операции с векторами в координатной форме показывают, что это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом.

5. Если пространство изоморфно пространству , а изоморфно пространству , то пространства и также изоморфны.

В самом деле, имея взаимно однозначные соответствия и , поставим в соответствие вектору такой вектор , что . Такое "сквозное" соответствие будет взаимно однозначным, сохраняющим линейные операции.

Теорема 8.3 об изоморфизме линейных пространств. Два конечно мерных линейных пространства (над одним и тем же числовым полем) изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.

Действительно, если пространства изоморфны , то базису пространства соответствует линейно независимая система векторов пространства (см. пункт 3 замечаний 8.6), которую в случае необходимости можно дополнить до базиса пространства (см. теорему 8.2). Следовательно, . Аналогично получаем противоположное неравенство . Таким образом, (необходимость доказана). Достаточность следует из пунктов 4,5 замечаний 8.6. Действительно, пусть пространства и определены над полем и . Тогда, выбрав любые базисы в пространствах и , установим изоморфизмы и , если и — вещественные пространства. Если пространства и определены над полем комплексных чисел, то и . В обоих случаях, согласно пункту 5 замечаний 8.6, пространства и изоморфны. Теорема доказана.

Следствие. Изучение конечномерных линейных пространств сводится к изучению арифметических пространств той же размерности.

45. Матриця переходу від старого базису до нового базису. Координатні стовпці вектора в двох базисах.

Пусть векторы , ... ,  образуют базис пространства V, а векторы  , , ... ,   - другой базис этого пространства. Каждый вектор разлагается по базису , ... , . Запишем эти разложения в виде системы равенств

                                 = + + ... + ,

                               = + + ... + ,

                                 ............................................

                                = + + ... +                         (2)

или, кратко,

                                                   = 

(суммирование по первому индексу коэффициентов ).

Коэффициенты разложений (2) образуют матрицу T перехода от базиса , ... ,  к базису  , , ... , .

Столбец с номером k матрицы Т состоит из координат  базисного вектора в  базисе e.

Рассмотрим матрицы e = (, ... , ) и f = ( , , ... , ) размерности 1×n, матричными элементами которых являются старые или новые базисные векторы. Тогда соотношения (2) можно записать с помощью произведения матрицe и T в виде

                                       f = e T                                                   (3)                   

Матрица Т невырождена, и обратная к ней матрица является матрицей перехода от нового базиса f  к старому базису e:

                                     e = f 

Рассмотрим произвольный вектор v и его разложения по старому и новому базисам

                          v = ,   v =                               (4)

Подставляя в правую часть второго из соотношений (4) выражения (2), а в левую часть первое из разложений (4) и приравнивая коэффициенты при базисных векторах , приходим к следующему выражению координат α через координаты β:

                                   =                                             (5)

Введем матрицу α размерности n×1, матричными элементами которой являются координаты вектора v в старом базисе

и аналогичную матрицу координат β. Тогда формула (5) может быть записана в виде произведения матриц:

                                        α = T β      

46. Підпростори, сума та перетин підпросторів. Теорема Грасмана.