Второе и дальнейшие приближения

Из соотношений [37] можно уточнить значения . Эти величины снова подставляем в правые части системы [12] и находим новые - уточнённые.

Из [11] находим новые гелиоцентрические координаты x,y,z. Если были заметно ошибочны, то можно снова внести поправку за аберрацию.

После этого снова вычисляются (из [59] и [57]). Процесс приближений продолжается, пока значения не будут совпадать в двух последовательных приближениях (4 значащие цифры), после чего можно перейти к определению элементов орбиты.

Но перед этим полезно провести дополнительный контроль вычислений: так как известны, то

и затем по формулам [1]:

дают возможность получить и и сравнить их с наблюдёнными.

Определение элементов орбиты

Результаты, полученные в последнем приближении, должны послужить для нахождения элементов орбиты. Из уравнения [38] для параметра получаем

[60]

Первое из этих трёх уравнений даёт наибольшую точность, так как в нём числитель и знаменатель не столь малые величины, как в двух последних. Поэтому элементы орбиты вычисляются по крайним моментам времени и , то есть (исправлено за планетную аберрацию!).

по определению векторного произведения и .

Для контроля можно использовать соотношение

,

.

Зная и формулы [60] находим параметр орбиты .

Теперь вычислим истинные аномалии и эксцентриситет.

, ,

, . [61]

Разность известна хотя бы из уравнений [60]:

, [62]

[63]

Из [61] и [63] по и находим , а из [62] получаем . Эксцентриситет немедленно получается из тригонометрической единицы:

. [64]

Перигелийное, афелийное расстояние и большая полуось орбиты соответственно

, , .

Эксцентрические аномалии и находятся в тех же четвертях, что и и для достаточно малых значений эксцентриситета:

,

,

а затем применяем уравнение Кеплера, дающее средние аномалии:

,

,

где и выражено в радианах. С другой стороны

[65]

Формулы [65] позволяют вычислить среднее суточное движение (его размерность здесь рад/сут) и момент прохождения через перигелий .

По определению , где - некоторая исходная эпоха, из [65] следует:

, тогда

[66]

Так находим исходную эпоху и среднюю аномалию в эту эпоху .

Далее определяем угловые элементы орбиты.

Гелиоцентрические экваториальные координаты светила:

вычесть из вычесть из

верхнего нижнее нижнего верхнее

,

.

Аналогично

, [67]

.

Вычитая из нижней строки верхнюю, точно также получим

.

Аналогично

, [68]

.

Контроль

- направляющие косинусы вектора, направленного на перигелий,

- направляющие косинусы вектора, перпендикулярного предыдущему в плоскости орбиты.

Эти направляющие косинусы связаны с элементами орбиты:

Для нахождения угловых элементов орбиты, применяем следующую процедуру:

.

пока не найден!

.

.

Найдены все кеплеровы элементы орбиты.

Алгоритм вычислений

1. Исходные данные (все приведено к одной эпохе)

2. ф-лы [10] контроль

3. ф-лы [14]

4. ф-лы [24]

5. ф-лы [28] контроль

6. ф-лы [31]

7. ф-лы [32]

8. методом последовательных приближений решается система [34],

решением является

9. ф-лы [29]

10. решается основная система уравнений [12]

, где ;

, где (из ф-л [14]);

, где

11. вычисляется 1-е приближение гелиоцентрических координат по формулам [11]

12. контроль: сравнить с из решения [34],

сравнить с из решения [34],

должны удовлетворять [9]

13. вводится поправка за аберрацию [35],

новые вычисляются по ф-лам [24]

14. для новых интерполируются новые геоцентрические координаты Солнца

15. ф-лы [59]

16. методом последовательных приближений из алгоритма [57]

17. ф-лы [37]

18. решается основная система уравнений [12]

вычисляются из [11]

19. ф-лы [59]; ф-лы [57]; ф-лы [37]

должны совпадать с точностью 3-4 значащих цифр,

если нет, то к п.10,

если да, то можно переходить к определению элементов орбиты.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ.

Для кометных орбит хорошим приближением всегда может служить парабола. Их орбиты в той части, которая охватывается наблюдениями, практически неотличимы от параболы. {1} Часто можно вычислить удовлетворительную параболическую орбиту из наблюдений, отделенных суточными интервалами.

Параболическая орбита определяется только 5-ю элементами (постоянными), поскольку е=1. Это условие получает свое отражение в том, что существует соотношение между двумя радиус-векторами кометы и замыкающей их хордой, с одной стороны, и промежутком времени, в течение которого комета переместилась из 1-го положения во 2-е, с другой стороны. Это соотношение формулирует теорема Эйлера. {2}

Если имеется три наблюдения над кометой, то можно получить уравнение, связывающее первое геоцентрическое расстояние ₁ с третьим ₃.

Второе уравнение, связывающее ₁ и ₃, Ольберс выводит из уравнений плоскости, исключая ₂.

Из этих двух уравнений можно найти две неизвестные величины ₁ и ₃. Это делается не прямым путем, а с помощью проб. В результате отыскиваются гелиоцентрические координаты кометы, а из них – элементы орбиты.

Ход решения принципиально отличается от рассуждений, проведенных для эллипса. В методе Гаусса путем последовательных приближений отыскиваются значения двух основных параметров – отношений площадей треугольников n₁ и n₃, здесь же все сводится к одному параметру: соотношению крайних геоцентрических расстояний ₁ и ₃.

Постановка задачи

Пусть для трех моментов наблюдений даны координаты кометы и координаты Солнца:

t_i, _i, _i, X_i, Y_i, Z_i; i=1,2,3.

Требуется вычислить элементы орбиты q, T₀, , , i притом, что заведомо известно значение эксцентриситета e=1.

Уравнение Ольберса

Так же, как и в методе Гаусса отыскания элементов эллиптической орбиты рассмотрим основную систему уравнений

[12]

где [10], [11]

В системе [11] подставляются гелиоцентрические экваториальные координаты кометы.

Из системы [12] надлежит исключить ₂ и получить два уравнения, связывающих ₁ и ₃. Это легко сделать, если домножить каждое уравнение [12] соответственно на величины А,В,С. Причем эти величины такие, что выполняются условия

[69]

Условия [69] представляют собой скалярные произведения вектора с координатами (А,В,С) на (a₂,b₂,c₂) и

(А,В,С) на (X₂,Y₂,Z₂).

Эти вектора перпендикулярны. Вектор (А,В,С) определяет полюс Р на небесной сфере.

Точки К₁, К₂, К₃ – наблюденные положения кометы или вектора с координатами (a_i,b_i,c_i).

S₁, S₂, S₃ – гелиоцентрические места Земли (антиподы геоцентрических мест Солнца) или вектора с координатами (-X_i,-Y_i,-Z_i).

Попробуем решить систему [69]:

С можно выбрать любым, тогда

[70]

Умножим систему [12] на А,В,С соответственно. Суммируя, с учетом [69], получим

Введем обозначения

[71]

Тогда

Введем обозначения

[72]

Тогда [73]

Это уравнение Ольберса. Названо оно так из-за того, что Ольберс выбрал основной круг так, что он проходит через вторые места кометы и Земли (Солнца). Вообще, второе наблюдение входит в вычисление орбиты постольку, поскольку должно соблюдаться условие [69]. То есть второе место кометы должно лежать на основном круге.

Для вычисления m и M потребуется знать отношение . При вычислении элементов эллиптической орбиты было получено (формулы [29]):

,

Далее

В нулевом приближении можно принять , подставляя сюда это r₂, получим

[74]

Итак, уравнение Ольберса [73] связывает ₁ и ₃. Ни одна из этих величин пока неизвестна, так же как и гелиоцентрические расстояния r₁ и r₃. Правда, между ними есть геометрические уравнения связи:

,

но и этого недостаточно.

Кроме того, ясно, что и между двумя гелиоцентрическими положениями кометы есть геометрическая связь.

,

,

,

,

[75]

Но это лишь уточнение связи между положениями в 1-й и 3-й моменты времени.

Надо учесть, что движение происходит по параболической траектории.