Отношения площадей треугольников

Предположим для простоты, что плоскость координат совпадает с плоскостью орбиты светила. Тогда уравнения движения примут вид

[15]

- масса светила пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца. Выберем единицу измерения времени так, чтобы . Масса и расстояние измеряются в массах Солнца и астр. единицах соответственно, можно подобрать лишь единицу измерения времени, входящего в :

.

Здесь время измеряется в сутках, исходя из размерности , время измеренное в новых единицах, связано с временем, измеренным в средних сутках . средних суток.

Теперь вместо времени t вводим новую переменную . [16]

Уравнения [15] заменяются следующими

[17]

Пусть в исходный момент времени, когда , светило имеет координаты и радиус-вектор r;

в момент , соответственно - .

Требуется определить площадь треугольника, считая известным r и его производные по времени.

Допустим , тогда можно представить

[18]

Дифференцируя [17] по , можно получить выражение высших производных , содержащие только ; :

[19]

Подставляя эти производные в [18]:

или

[20]

где

[21]

Выражения [20] связывают координаты светила в момент с его координатами в момент . Из [20] можно определить искомую удвоенную площадь треугольника:

[22]

Скобка справа это удвоенная секторная скорость, которая сохраняется при движении. При рассмотрении задачи двух тел был получен интеграл секторной скорости (закон сохранения момента импульса - [37]):

.

В рассматриваемом случае (орбита лежит в координатной плоскости), :

[23]

Применим этот результат к трем положениям светила и найдем удвоенные площади треугольников . Промежутки времени обозначим

[24]

причем индекс у соответствует индексу, недостающему справа (заметим, что ).

В [20] полагаем ; и заменяя соответственно на ; :

[25]

(исходя из положения 2, хотим получить положение 1, значит «-», см.[24])

(исходя из положения 2, хотим получить положение 3, значит «+», см.[24])

[26]

Итак

Продолжим

.

Следовательно, удвоенные площади треугольников определяются:

[27]

где в последнем равенстве использовано .

Площади треугольников выражены через и промежутки времени, но пока неизвестно.

Итак,

,

Аналогично .

Эти формулы даны Энке и они точнее тех, которыми пользовался сам Гаусс. Положим

[28]

Тогда

[29]

Вспомним [13] и [14]:

подставим сюда :

или [30]

где [31]

Тем самым выразилось не через две неизвестные (см. [13]), а через одну неизвестную .

Но между и существует, кроме того, очень простое геометрическое соотношение, вытекающее из треугольника Солнце-Земля-светило.

Напомним, что - геоцентрические координаты Солнца.

Направляющие косинусы известны из наблюдений см. формулы [10].

Скалярное произведение

. [32]

Применим теорему косинусов

, [33]

из [32] известно .

Итак, имеем систему двух уравнений [30] и [33] с двумя неизвестными:

[34]

Эту систему можно решать методом последовательных приближений относительно (аналитически не удается).

В 1-м приближении (см.[30]),

это (т.е. ) подставляем во 2-е уравнение [34],

получаем ,

это подставляем в 1-е уравнение [34],

и получаем новое .

2-е приближение и т.д.

Процесс итераций продолжается до совпадения 4-х значащих цифр в двух последовательных приближениях.

Итак, найдены и , и значит по формулам [29] можно получить отношения площадей треугольников .

1-е ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ КООРДИНАТ СВЕТИЛА

Отношения площадей треугольников получены в 1-м приближении. Обратимся к системе уравнений [12]

[12]

Зная правые части, решаем систему относительно неизвестных . Далее получаем . , полученное из системы [12], полезно сравнить с , полученным из системы [11]; это контроль вычислений.

Теперь из системы [11] получаем 1-е приближение гелиоцентрических координат светила:

- контроль вычислений (сравнить с решением [34]).

Контроль вычислений с использованием системы [9]:

Дополнительный контроль вычислений:

где

Если контроль показывает правильность вычислений, то гелиоцентрические координаты светила, таким образом, получены в первом приближении для трех моментов наблюдения. Вычисления здесь носили приближенный характер, так как при вычислении (формулы [29]) были отброшены члены высших порядков в рядах разложения.