§ 120. Общий характер дифференциальных уравнений электро­магнитного поля,

Остановимся вкратце на некоторых сторонах физического со­держания уравнений (133) и (134). Основное, что выражают собой эти уравнения электромагнитного поля, — это взаимная связанность векторов, характеризующих электрическое и магнитное поля.

Всякое изменение силы магнитного поля Н во времени влечет за собою изменения в пространственном распределении вектора электрической силы Е и, обратно, всякое изменение Е во времени обусловливает, вообще говоря, изменения в пространственном распределении вектора Н,

Кроме того, так как в уравнения (133) и (134) входят соста­вляющие Е и Н по координатным осям, то эти уравнения дают возможность судить не только о количественных соотношениях между Е и H, но и о взаимной ориентировке их взаимно связанных изменений. Например, изменение во времени составляющей силы магнитного поля вдоль оси ОХ вызывает изменения в распреде­лении составляющих силы электрического поля в плоскости, па­раллельной YOZ, т. е. в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, и т. д.

Мы сказали, что всякое изменение вектора Н (или Е) во вре­мени связано с изменением распределения вектора Е (или H) в пространстве. В связи с этим, вообще говоря, изменение одного влечет за собой появление другого или, следовательно, появление одного связано с появлением другого.

Остановимся еще на том, как в написанных уравнениях отра­жается разница между характером электромагнитного процесса в случае диэлектрика и в случае проводника.

Если мы имеем абсолютный диэлектрик, то = и, следо­вательно, проводникового тока не существует. Уравнения (133) принимают вид (для простоты выпишем только одно из них):

Следовательно, в случае абсолютного диэлектрика, для появле­ния такого магнитного поля, в котором могут иметь место замкну­тые контуры с магнитодвижущей силой, не равной нулю, иными словами, для возникновения электрического тока, необходимо изме­нение В во времени. Указанное обстоятельство, между прочим, является математическим выражением того, что передача энергии постоянным током, т. е. при постоянной электродвижущей силе, невозможна в случае отсутствия проводника, так как при этом в системе не может возникнуть постоянный электрический ток.

Рассмотрим другой предельный случай, когда , конечно и про­водниковый ток существует. Допустим еще, что

Е=const.

408

То же самое уравнение принимает тогда вид:

Иными словами, в этом случае для появления Н, т. е. для воз­никновения электрического тока, достаточно самого факта сущест­вования Е, хотя бы и неизменного во времени. Таким образом, вводя в систему проводник, мы создаем такие условия, при которых в ней может возникнуть электрический ток и при постоянном зна­чении электродвижущей силы.

§ 121. Распространение электромагнитной энергии.

Уравнения (133) и (134) по существу являются общим математическим выражением того факта, что при одновременном существовании взаимно связанных электрического и магнитного полей, т. е. при существовании электромагнитного поля, имеет место движение электромагнитной энергии в пространстве. Как уже было отмечено выше, всякое изменение силы магнитного (или электрического) поля во времени связано, вообще говоря, с изменением пространственного распределения электрического (соответственно, магнитного) поля. Изменение же Н и Е в пространстве с течением времени, являясь перераспределением энергии, есть не что иное, как именно движение электромагнитной энергии. Для того, чтобы возможно более отчетливо выявить данное обстоятельство, обра­тимся к простейшему случаю идеального диэлектрика, в объеме которого отсутствуют при этом какие бы то ни было распреде­ленные электрические заряды. В таком случае мы можем принять:

= и потому имеем:

Принимая это во внимание, перепишем теперь уравнения (133 и (134), причем переставим правые и левые части:

Подвергнем теперь эти уравнения некоторым преобразованиям. Продифференцировав первое уравнение системы (135) второй раз по времени, получим:

409

Так как

то можем написать:

Подставляя сюда выражения производных:

из уравнений (136), получаем:

или, раскрывая скобки, имеем:

Прибавив к правой части этого уравнения и вычтя:

и произведя надлежащие преобразования, можем написать:

Необходимо теперь принять во внимание, что выражение:

равно нулю. Это вытекает из теоремы Лапласа (см. § 58, к) в связи с тем, что согласно условию в рассматриваемом диэлектрике нет объемного распределения электричества. Таким образом, имеем:

На основании этого уравнение (137) принимает вид:

410

Совершенно аналогичным путем получим такого же вида урав­нения для Е_у, E_z, Н_х, Н_у и H_z.

Обратимся теперь к выяснению физического смысла полученной системы уравнений (138). С целью возможно большего упрощения этой системы сосредоточим внимание на случае, когда количества, входящие в них, не зависят, например, от х и y, а являются, следовательно, функциями только z и t. Из уравнений (135) и (136) не трудно усмотреть, что при этом

и

откуда следует, что в данном случае мы имеем:

Е_z=const,

H_z=const.

Таким образом, составляющие электрической силы и магнитной силы вдоль оси OZ не изменяются с течением времени и, следо­вательно, эти величины не принимают никакого участия в рассматриваемом процессе перераспределения, или, другими словами, движения электромагнитной энергии. Изменяются же при этом только составляющие Е и Н вдоль осей ОХ и OY. Мы имеем здесь случай так называемой плоской волны.

Для дальнейшего упрощения данной системы уравнений (138) предположим, что электрическая сила Е полностью лежит в пло­скости XOZ. Это предположение равносильно допущению, что:

E_y=0

Пользуясь уравнениями (136), не трудно показать, что в связи с этим мы будем иметь:

или

Н_х=const,

т. е. в интересующем нас процессе движения электромагнитной энергии составляющая Н_х участия не принимает.

411

В результате, для плоской волны в рассматриваемом случае система уравнений (138) сводится к следующим двум уравнениям:

Уравнения (139) совершенно тождественны по форме, и потому решения их будут вполне подобны. Для получения решения этих уравнений заменим переменные независимые z и t через новые переменные s и u, связанные с первыми следующими соотно­шениями:

Произведем указанную замену переменных в первом из урав­нений (139). В этом уравнении Е_х фигурирует как функция от z и t Мы должны теперь рассматривать Е_х как функцию от s и u,

т. е. полагаем:

B_x(z,t)=E_x(s,u).

Пользуясь соотношениями (140), можем написать:

и также:

Подставляя полученные значения производных:

в первое уравнение (139), получаем:

Совершенно аналогичное преобразование второго уравнения (139) приведет его к виду:

412

Общие интегралы этих уравнений имеют, как известно, сле­дующую форму:

где f₁, f₂, f₃ и f₄ представляют собою знаки произвольных функций, характер которых зависит, вообще говоря, от условий, являющихся причиною возникновения электромагнитного поля. В частном случае, имеющем особенно важное теоретическое и практическое значения, электромагнитное поле может порождаться, благодаря процессу пе­ременного электрического тока, т. е. в связи с электрическими колебаниями в некоторой системе. В таком случае функции f₁, f₂, f₃ и f₄ являются гармоническими функциями и соответственно этому подобный же характер имеют и Е_х и H_у,

Остановимся теперь на выяснении физического смысла частных решений:

Значения Е'_х к H'_y остаются постоянными во все время, пока будет сохраняться постоянной величина:

Из этого следует, что если какая-либо точка движется в по­ложительную сторону вдоль оси OZ со скоростью, равной

то для этой точки значения Е'_х и Н'_у будут сохранять постоянную величину. Другими словами, некоторые определенные значения электрической и магнитной силы распространяются вдоль положи­тельного направления оси OZ со скоростью:

Соответственным образом частные решения:

413

представляют собою некоторые значения электрической силы и магнитной силы, распространяющиеся с той же скоростью г вдоль отрицательного направления оси OZ.

На основании изложенного мы приходим к заключению, что в случае, если в некоторой плоскости электрическая сила Е и магнитная сила Н претерпевают гармонические колебания во времени то в некоторый данный момент вдоль направления, перпендикуляр­ного этой плоскости, мы будем иметь гармоническое же распреде­ление Е и Н. При этом, пользуясь уравнениями (135) или (136), не трудно показать, что в любой точке в направлении распространения плоской электромагнитной волны электрическая сила Е и магнитная сила Н находятся в одной и той же фазе, т. е. одновременно переходят через минимум и через максимум.