§ 52. Пояснения к теореме Максвелла. Выводы из основной

формулировки.

Возвратимся к формулировке теоремы Максвелла:

Взяв от обеих частей этого равенства производную по s, получим:

Рассмотрим теперь рис. 108.

Количество электричества, смещенное через площадку ds, есть dQ, При этом Dcos представляет

177

собою нормальную составляющую вектора электрического смещения в данной точке поля. Если S есть поверхность уровня, в таком случае угол между нормалью к ней и направлением вектора электрического смещения равен нулю, и, следовательно, имеем: cos=l. Окончательно получаем для этого случая:

D=dQ/ds.

Таким образом, D, электрическое смещение в данной точке поля, можно определить как количество смещенного электричества, рас­считанное на единицу поверхности уровня, проходящей через данную точку. Полученное определение D тождественно с тем, которое дано выше, в § 48.

Представим себе теперь в однородной и изотропной среде ша­ровую поверхность (рис. 109) с радиусом, равным г, заряд в центре которой будет q.

Имеем:

Но cos= l, так как направление вектора электрического сме­щения совпадает с радиусом сферы. Далее, D=const, так как

электрическое смещение одинаково для всех точек сферы вследствие ее симметрии. Поэтому можем написать:

откуда

Здесь мы еще раз имеем указание на то, что электрическое смещение измеряется количеством электричества, отнесенным к еди­нице поверхности, перпендикулярной вектору D в данной точке поля.

178

§ 53. Математическая формулировка принципа непрерывности

тока.

Обратимся теперь к математической формулировке принципа непрерывности электрического тока. Рассмотрим какую-либо совер­шенно произвольную замкнутую поверхность s и выведем выраже­ние для величины полного электрического тока сквозь эту поверх­ность. Взяв производные по времени от обеих половин основного соотношения, выражающего теорему Максвелла в применении к данной поверхности, мы получим:

или

1ак как есть нормальная составляющая плотности тока электрического смещения сквозь поверхность, то обозначим ее через J_Dcos, где  есть угол, образуемый вектором тока смещения с внешнею нормалью. Тогда имеем

Выражение (32) определяет собою величину полного тока смеще­ния сквозь рассматриваемую замкнутую поверхность. То обстоятельство, что этот ток равен dQ/dt , т. е. скорости изменения пол­ного количества электричества внутри замкнутой поверхности, свиде­тельствует о существовании в нашей системе еще других токов, кроме тока смещения. Действительно, количество электричества О может изменяться не самопроизвольно, а только в связи с тем, что на ряду с током смещения сквозь поверхность, т. е. токами упру­гой деформации, обусловливаемыми изменением этой деформации в диэлектрике, сквозь ту же поверхность снаружи внутрь или из­нутри наружу проходят еще электрические токи другого рода. Таковыми могут быть, во-первых, ток проводниковый, некоторым образом распределенный по поверхности, и, во-вторых, так назы­ваемый конвекционный ток, т. е. ток переноса, состоящий в непо­средственном пронесении зарядов, например, в виде газовых ионов, электронов или просто путем движения каких-либо иных тел, за­ряженных электричеством того или иного знака. На основании из­ложенного можем написать:

179

где J_r — плотность проводникового тока, — угол, составляемый направлением этого тока с внутренней нормалью в данной точке поверхности, J_k — плотность конвекционного тока и '—соответствующий ему угол. В данной случае мы имеем в виду вну­треннюю нормаль к поверхности, ибо речь идет о токах, которые должны покрыть изменения Q, связанные с токами смещения, рас­сматриваемыми нами, согласно условию, в направлении внешней нормали. Иными словами, токи проводниковый и конвекционный текут сквозь поверхность, в общем обратно току смещения. При­нимая во внимание (32), можем написать:

Если мы теперь возьмем, вместо углов ' и ', углы  и , об­разованные соответствующими токами с внешней нормалью к данной поверхности s, то знаки перед интегралами правой части равенства изменятся на обратные, так как:

cos'=cos(180°-),

cos'=cos(180°-).

Таким образом, получаем:

Мы получили математическое выражение принципа непрерыв­ности электрического тока, указывающее, что сумма всех токов сквозь замкнутую поверхность равна нулю, т. е. электричество ведет себя в некотором замкнутом пространстве как несжимаемая жидкость (см. § 47). Полученное выражение можно преобразовать, объединив все выражения под знаком одного интеграла, т. е. на­писав:

В скобках заключена сумма проекций некоторых векторов на направление внешней нормали. Эту сумму можно заменить проекцией результирующего вектора на то же направление. Обозначим плотность результирующего тока через J и угол, образуемый им с внеш­ней нормалью, через 8. В таком случае можем написать:

н окончательно имеем:

180

Выражение (34), являющееся математической формулировкой принципа непрерывности электрического тока, гласит, следовательно, что полный электрический ток сквозь любую замкнутую поверх­ность всегда равен нулю.