6 _случайные величины
.pdfИзвестно, что если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b) равна
b |
b − μ |
a − μ |
|||||
P(a ≤ X < b)= ∫f(x)dx = = Ф |
|
|
−Ф |
|
, где Ф(х) – функция Лапласа. |
||
σ |
σ |
||||||
a |
|
|
|
|
Используя полученную формулу можно также вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа ε, равна
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
||||
P( |
|
X − μ |
|
< ε )= 2Ф |
|
|
−1 |
|
|
σ |
|||||
|
|
|
Правило «трех сигм»: практически все возможные значения сл.вел., подчиненной нормальному закону с параметрами µ, σ, (Х ~ N(µ, σ)) заключены в интервале
(µ-3σ, µ+3σ).
Примеры решения задач
Пример 1. В семье трое детей. Случайная величина Х- число мальчиков в семье. Требуется:
а) найти закон распределения случайной величины Х б) построить многоугольник распределения случайной величины Х в) найти её функцию распределения F(х)
г) построить график F(х)
д) найти вероятность события Р(1<Х≤3)
е) найти М(Х), D(X), σ (X).
Решение: В семье может быть один, два, три или не быть мальчиков, то есть случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2, 3.
Пусть Аiсобытие, состоящее в том, что i-тый ребёнок мальчик, i=1,2,3.
Р(Х=0)=Р(Ā1Ā2Ā3)=1/8 Р(Х=1)=Р(А1Ā2Ā3+Ā1А2Ā3+Ā1Ā2А3)=3/8 Р(Х=2)=Р(Ā1А2А3+А1Ā2А3+А1А2Ā3)=3/8
Р(Х=3)=Р(А1А2А3)=1/8
а) закон распределения случайной величины Х имеет вид:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
Р |
1/8 |
3/8 |
3/8 |
1/8 |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
0, при х≤0 |
|
|
|
|
1/8, при 0<х≤1 |
|
F(х)= |
1/2, при 1<х≤2 |
|
|
|
|
7/8, при 2<х≤3 |
|
|
|
1, при х>3 |
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) Р(1<Х≤3)=Р(Х=2)+Р(Х=3)=3/8+1/8=1/2
е) М(Х)= 0 ×1/ 8 +1× 3 / 8 + 2 × 3 / 8 + 3 ×1/ 8 = 1,5
М(Х2)=02.1/8+12.3/8+22.3/8+32.1/8=3 D(X)=3-1,52=0,75
3 σ ( Х) = 0,75 = 2
Пример 2 .
0, x ≤ 0
Дана плотность вероятности случайной величины Х f (x) = a sin x,0 < x ≤ π .
0, x > π
Определить коэффициент а, функцию распределения F(x), построить график
F(x), f(x).
Решение. По условию нормировки
+∞ 0 π +∞
1. ∫ f(x)dx = ∫ 0dx + ∫ asinxdx + ∫ 0dx = 1
-∞ -∞ 0 π
a(− cos π + cos 0) = 1
a = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x £ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
f (x) |
= |
1 |
sin x,0 < x £ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x > π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. x≤0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(X) = ∫ 0dx = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
-∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0<x≤π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(− cos x) |
|
|
|
|
|
1 |
(cos x − cos 0) = − |
1 |
(cos x −1) = |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
F(X) = ∫ 0dx + ∫ |
|
|
|
sinxdx = = |
|
0x = − |
− |
cos x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
-∞ |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x> π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(− cosπ + cos 0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
F(X) = ∫ 0dx + ∫ |
|
|
sinxdx + ∫ 0dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
-∞ |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x £ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итого, |
F(X) = |
1 |
- |
cos x,0 < x |
£ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x > π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sin 3x, |
|
на |
|
0; |
. Вне этого интервала равна нулю. Найти вероятность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
того, что Х примет значение, принадлежащее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
; |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(a ≤ X < b) = ∫ f(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
P(a £ X < b) = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(- cos 3x) |
4 |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
sin3xdx = × |
π |
= - |
|
|
|
- cos |
|
- |
|
|
|
- 0 |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
6 |
|
|
|
|
|
9 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
9 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.
Случайная величина имеет плотность распределения ax, при 0≤х≤1
f(x)={
0, при х>1 или х<0
Требуется а) найти постоянную а
б) найти функцию распределения F(x) в) построить графики f(x) и F(x)
г) найти Р(0<х<1/4)
д) найти параметры распределения
Решение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
а) используем свойство плотности распределения ∫ f (x)dx =1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
+∞ |
0 |
1 |
+∞ |
1 |
ax |
2 |
|
|
1 |
а=1, следовательно а=2. |
∫ f (x)dx = ∫0dx + ∫axdx + ∫0dx = ∫axdx = |
|
|10 |
= |
|||||||
2 |
|
|
||||||||
−∞ |
−∞ |
0 |
1 |
0 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) при х≤0 |
F(х)= ∫0dt = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
при 0<х≤1 F(x)= ∫0dt + ∫2tdt = x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
−∞ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
при х>1 F(x)= ∫0dt + ∫2tdt + ∫0dt =1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−∞ |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
в)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
г) Р(0<х<1/4)= ∫ 2хdx = x 2 |
|10/ 4 = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
д) М(Х)= ∫хf (x)dx = ∫2х2 dx = |
|
|
|10 |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
М(Х2)= ∫2х3 dx = |
|
|10 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D(X)= М(Х2)- М2(Х)= |
1 |
|
− |
4 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
σ ( Х) = |
|
|
= |
|
1 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D( X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
18 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.
1)Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно µ = 4 и среднее
квадратическое отклонение σ = 1. Написать плотность
вероятности Х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Функция |
|
|
|
|
|
плотности |
|
вероятности: |
|||||||
|
|
|
|
|
-(x-μ)2 |
|
|
|
|
|
-(x-4)2 |
|
-(x-4)2 |
||
f (x) = |
|
1 |
|
e 2σ 2 |
= |
1 |
|
e 2×12 = |
|
1 |
|
e 2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
σ |
|
2π |
1× 2π |
2π |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 5 и 3. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (10, 16).
Решение. Используем |
|
|
|
|
формулу |
||||
|
b - μ |
|
a - μ |
||||||
Р(a < X < b) = Ф |
|
|
|
- Ф |
|
|
, учитывая, что а = 10, b = |
||
σ |
|
σ |
|
||||||
16, µ = 5, σ = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 - 5 |
|
|
10 - 5 |
|
= Ф(3,67)-Ф(1,67) |
||||
Р(12 < X < 14) = Ф |
|
|
|
-Ф |
|
|
|
||
|
3 |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
По таблице для значений функции Лапласа находим
Ф(3,67)-Ф(1,67)=0,4999 - 0,4525 = 0,0474
Контрольные задания:
1)Имеется двадцать коробок с яблоками, причем количество
яблок в них составляет 10,9,11,10,12,8,11,9,10,10,11,8,9,10,9,11,12,10,9 и 11
штук. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как количество яблок в произвольно выбранной коробке, построить многоугольник распределения и найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду этой величины.
2) Число фармацевтов в каждой из 15 аптек некоторого района составляет соответственно 4,7,5,6,4,5,3,6,4,5,5,4,6,5 и 6 человек. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число фармацевтов в произвольно выбранной аптеке (из этих 15 аптек), построить многоугольник распределения и найти математическое ожидание, дисперсию среднее квадратическое отклонение и моду этой величины.
3) Число фармацевтов в каждой из 15 аптек некоторого района составляет соответственно 4,7,5,6,4,5,3,6,4,5,5,4,6,5 и 6 человек. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число фармацевтов в произвольно выбранной аптеке (из этих 15 аптек), построить многоугольник распределения и найти математическое ожидание, дисперсию среднее квадратическое отклонение и моду этой величины.
4) К задаче №2 составить функцию распределения, построить ее график и найти вероятность того, что количество яблок в произвольно выбранной корзине окажется более 10.
5) |
Дана функция распределения непрерывной случайной |
величины Х |
|
|
0 |
при x ≤ 0, |
F ( X ) = |
|
при 0 < x ≤ π/2, . Найти плотность распределения f (x). |
sinx |
||
|
1 |
при x > π/2 |
|
|
|
6) |
|
Дана функция распределения непрерывной случайной |
величины Х |
при x ≤ 0, |
|
|
0 |
|
F ( X ) = |
|
при 0 < x ≤ π/4, . Найти плотность распределения f (x). |
sin2x |
||
|
1 |
при x > π/4 |
|
|
|
7) |
|
Для функции распределения непрерывной случайной |
величины |
при x ≤ 0, |
|
|
0 |
|
F ( X ) = |
ax 2 |
при 0 < x ≤ 2, |
|
|
|
|
1 |
при x > 2 |
|
|
|
найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величины Х в интервал (0; 1).
8) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
0 |
при |
x ≤ 0, |
|
|
|
f (x) = cosx при 0 < x ≤ π / 2, . Найти функцию распределения F(x). |
||
0 |
при |
x > π / 2 |
|
|
|
9)Непрерывная случайная Х задана плотностью распределения
f (x) = 3 sin 3x в интервале (0; π /3); вне этого интервала f (x) = 0 . Найти
2 |
|
вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу |
|
(π /6,π /4). |
|
10) |
Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) |
= 2x в интервале [0,1]. Вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание, и среднее квадратичное отклонение величины X.
11) Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=1/2x в интервале [0,2]; вне этого интервала. f(x) = 0. Найти М(X) и Д(X). 12) Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = С(x2+2x) в интервале [0,1]; вне этого интервала. f(x) = 0. Найти: а) параметр С; б) математическое ожидание величины X.
13) Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно µ = 3 и среднее квадратическое отклонение σ=2. Написать плотность вероятности Х.
14) Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х, зная, что М(Х)= 3, D(Х)=16.
15) |
Нормально распределенная случайная величина Х задана |
||||||
|
1 |
|
|
−(x −1)2 |
|||
|
|
|
|
|
|||
плотностью |
f (x) = |
|
|
|
e |
50 . Найти математическое ожидание и дисперсию. |
|
5 |
|
|
|||||
2π |
|||||||
16) |
Математическое ожидание и среднее квадратическое |
отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
17)Случайная величина задана плотностью распределения
0, |
при |
x ≤ 0, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|||
f (x) = |
|
|
, |
при 0 < x ≤ π / 4, |
|
2 |
|||
|
|
x > π / 4 |
||
1, |
при |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале [0; π/4]
18) Производятся измерения случайной величины X-давления жидкости манометром. Случайная величина распределена нормально; математическое ожидание величины давления μ=160 мм. рт. ст., δ=5 мм. рт. ст. Найти вероятность того, что найденное во время опыта значение давления жидкости будет заключено в интервале [150, 165]мм 19) Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение
c математическим ожиданием µ = 5 и средним квадратическим отклонением σ = 2. найти вероятность того, что Х примет значения в интервале (4, 7).
20) Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием µ = 25 и средним квадратическим отклонением σ = 2. найти интервалы для Х, если вероятность интервала | Х - µ| < ε равна
0,95 и 0,99.
21) В результате большого числа измерений установлено, что длина l бюретки представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, имеет математическое ожидание µ = 30 см и среднее квадратическое отклонение σ = 0,2 см. Найти: 1) вероятность того, что длина бюретки будет находиться в пределах от 29,6 до 30,4 см; 2) интервалы для длины l бюретки при р = 0,95.