
- •Глава I предмет и значение логики
- •§ 1. Формы познания Формы чувственного познания
- •Формы абстрактного мышления
- •Особенности абстрактного мышления
- •§ 2. Понятие логической формы и логического закона
- •Понятие логической формы
- •Логические законы
- •Истинность мысли и формальная правильность рассуждений
- •4. Все ушастые тюлени – ластоногие.
- •Теоретическое и практическое значение логики
- •§ 3. Логика и язык
- •Семантические категории
- •Задачи к теме “Предмет и значение логики”
- •Глава II понятие
- •§ 1. Понятие как форма мышления
- •Содержание и объем понятия
- •Закон обратного отношения между объемами и содержаниями понятий
- •§ 2. Отношения между понятиями
- •Типы совместимости: равнозначность (тождество), перекрещивание, подчинение (отношение рода и вида)
- •Типы несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие
- •§ 3. Определение понятий
- •Правила явного определения. Ошибки, возможные в определении
- •Неявные определения
- •Определение через аксиомы
- •Использование определений понятий в процессе обучения
- •Приемы, сходные с определением понятий
- •§ 4. Деление понятий. Классификация
- •Правила деления понятий
- •Виды деления: по видообразующему признаку и дихотомическое деление
- •Классификация
- •Использование естественных классификаций в школах и педагогических средних и высших учебных заведениях
- •§ 5. Ограничение и обобщение понятий
- •II. Определить отношения между следующими понятиями:
- •Глава III суждение
- •§ 1. Общая характеристика суждения
- •Суждение и предложение
- •§ 2. Простое суждение
- •Виды простых ассерторических суждений
- •1. Суждения свойства (атрибутивные).
- •2. Суждения с отношениями.
- •Категорические суждения и их виды (деление по количеству и качеству)
- •Объединенная классификация простых категорических суждений по количеству и качеству
- •Распределенность терминов в категорических суждениях
- •§ 3. Сложное суждение и его виды. Исчисление высказываний
- •Способы отрицания суждений
- •Отрицание сложных суждении
- •Исчисление высказываний
- •§ 4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке
- •§5.Отношения между суждениями по значениям истинности
- •Противоположность (контрарность)
- •§ Б. Деление суждений по модальности
- •Задачи к теме “Суждение”
- •VII. Являются ли суждениями следующие предложения?
- •Глава IV законы (принципы) правильного мышления
- •§ 1. Понятие логического закона
- •§ 2. Законы логики и их роль в познании Закон тождества
- •Закон непротиворечия
- •Закон исключенного третьего
- •Специфика действия закона исключенного третьего при наличии “неопределенности” в познании
- •Закон достаточного основания
- •§ 3. Использование формально-логических законов в процессе обучения
- •Задачи к теме “Законы (принципы) правильного мышления”
- •Глава V умозаключение
- •§ 1. Общее понятие об умозаключении
- •Понятие логического следования
- •§ 2. Дедуктивные умозаключения
- •Понятие правила вывода
- •§ 3. Выводы из категорических суждений посредством их преобразования
- •S есть р
- •§ 4. Простой категорический силлогизм1
- •Фигуры и модусы категорического силлогизма
- •Особые правила фигур
- •Модусы категорического силлогизма.
- •Правила категорического силлогизма
- •/. Правила терминов
- •//. Правила посылок
- •§ 5. Сокращенный категорический силлогизм (энтимема)
- •§ 6. Сложные и сложносокращенные силлогизмы: (полисиллогизмы, сориты, эпихейрема)
- •Все с суть d. Сорит (с общими посылками)
- •Все а суть в. Все в суть с. Все с суть d.
- •Формализация эпихейрем с общими посылками
- •Выводы, основанные на логических связях между суждениями (выводы логики высказываний)
- •§ 7. Условные умозаключения
- •I. Утверждающий модус (modus ponens).
- •II. Отрицающий модус (modus tollens).
- •Первый вероятностный модус
- •Структура его: Cхема:
- •Второй вероятностный модус
- •§ 8. Разделительные умозаключения
- •§ 9. Условно-разделительные (лемматические) умозаключения
- •Дилемма1
- •Cхема Формула:
- •Трилемма
- •§ 10. Сокращенные условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения
- •1. В умозаключении пропущено заключение
- •2. В умозаключении пропущена одна из посылок
- •1. Простая контрапозиция.
- •2. Сложная контрапозиция.
- •§ 11. Непрямые (косвенные) выводы
- •1. Рассуждение по правилу введения импликации
- •2. Правило сведения “к абсурду”
- •3. Правило непрямого вывода - рассуждение “от противного” (противоречащего)
- •§ 12. Индуктивные умозаключения и их виды Логическая природа индукции
- •Математическая индукция
- •Виды неполной индукции
- •2. Индукция через анализ и отбор фактов
- •Понятие вероятности
- •3. Научная индукция
- •§ 13. Индуктивные методы установления причинных связей Понятие причины и следствия
- •Методы установления причинной связи
- •Метод сходства
- •Если изменение одного обстоятельства всегда вызывает изменение другого, то первое обстоятельство есть причина второго. Метод остатков
- •Если известно, что причиной исследуемого явления не служат необходимые для него обстоятельства, кроме одного, то это одно обстоятельство и есть, вероятно, причина данного явления.
- •§ 14. Дедукция и индукция в учебном процессе
- •Задачи к теме “Умозаключение”
- •3. Во всех городах за полярным кругом бывают белые ночи.
- •Глава VI логические основы теории аргументации
- •§ 1. Понятие доказательства
- •Структура доказательства: тезис, аргументы, демонстрация
- •Виды аргументов
- •§ 2. Прямое и непрямое (косвенное) доказательства
- •§ 3. Понятие опровержения
- •1. Опровержение тезиса (прямое и косвенное)
- •II. Критика аргументов
- •III. Выявление несостоятельности демонстрации
- •§ 4. Правила доказательного рассуждения. Логические ошибки, встречающиеся в доказательствах и опровержениях
- •Правила по отношению к тезису
- •Ошибки относительно доказываемого тезиса
- •Правила по отношению к аргументам
- •Правило по отношению формы обоснования тезиса (демонстрации)
- •Ошибки в форме доказательства
- •3. Нарушение правил умозаключений (дедуктивных, индуктивных, по аналогии);
- •§ 5. Понятие о софизмах и логических парадоксах
- •Понятие о логических парадоксах
- •Парадоксы теории множеств
- •§ 6. Искусство ведения дискуссии
- •Задачи к теме
- •1Ушинский к. Д. Соб. Соч. М.-л., 1948. Т. 1. С. 397.
- •1Цит. По: Русская литература. Л., 1980. С. 55.
- •2Huкoлa Себастьен де Шамфор. Из максим и мыслей, афоризмов и анекдотов // Пер. С франц. Орел. 1991. С. 45,47-49.
- •3Смаллиан р. Как же называется эта книга? // Пер. С англ. М., 1981. С. 74,123.
- •Глава VII аналогия и гипотеза. Их роль в учебном процессе
- •§ 1. Умозаключение по аналогии и его виды
- •Строгая аналогия
- •Нестрогая аналогия
- •Ложная аналогия
- •§ 2. Гипотеза и ее виды
- •Виды гипотез
- •§ 3. Построение гипотез
- •Способы подтверждения гипотез бывают такие:
- •Примеры гипотез, применяющихся на уроках в школе
- •Глава VIII роль логики в процессе обучения
- •§ 1. Логическая структура вопроса
- •Виды вопросов
- •Предпосылки вопросов
- •Правила постановки простых и сложных вопросов
- •Логическая структура и виды ответов
- •§ 2. К. Д. Ушинский и в. А. Сухомлинский о формировании логического мышления в процессе обучения в начальной школе
- •§ 3. Развитие логического мышления младших школьников
- •Обобщение:
- •Ограничение:
- •§ 4. Развитие логического мышления учащихся в процессе обучения в средних и старших классах Развитие логического мышления учащихся на уроках литературы (из опыта о. Ю. Богдановой)
- •Развитие логического мышления на уроках математики
- •Глава IX методика преподавания логики в педагогических высших и средних учебных заведениях и школах
- •§ 1. Формирование логической культуры как условие гуманитаризации педагогического образования
- •Формы активизации мыслительной деятельности , студентов в учебном процессе
- •Семинары и самостоятельные работы студентов
- •РРис.23
- •2.Все птицы имеют оперение.
- •Контрольные работы
- •Вопросы экзаменационных билетов
- •Кроссворд по теме “Понятие”
- •Ответы на кроссворд
- •Формы внеаудиторной работы со студентами
- •§ 2. Специфика методики преподавания логики в средних педагогических учебных заведениях: педучилищах, педколледжах, подклассах (из опыта работы)
- •Кроссворд, составленный ученицей 11 класса Татьяной и.'
- •Ответы на кроссворд
- •По горизонтали:
- •Ответы на кроссворд
- •Тест айзенка (стр. 342-358)
- •§ 3. Методика повышения логической культуры учащихся начальной и средней школы (из опыта работы)
- •II. Требования к оформлению работы
- •1. В письменном отчете о проведенной педпрактике по логике необходимо описать проведенные занятия с учащимися и сделать приложение по следующей схеме (см. Табл., с. 361).
- •1См.: Гетманова а.Д. Учебник по логике. Серия “Российский лицей”. М.,1994. С. 54-57.
- •Задания по логике для студентов второго курса на период педагогической практики в 1987/88 учебном году
- •Глава X этапы развития логики как науки
- •§ 1. Краткие сведения из истории классической и неклассических логик
- •Логика в Древней Индии
- •Логика Древнего Китая
- •Логика в Древней Греции
- •Логика в средние века
- •Логика эпохи Возрождения и Нового времени'
- •Логика в России
- •Математическая логика
- •§ 2. Развитие логики в связи с проблемой обоснования математики
- •§ 3. Интуиционистская логика
- •§ 4. Конструктивные логики
- •Конструктивные исчисления высказываний в. И. Гливенко и а. Н. Колмогорова
- •Конструктивная логика а. А. Маркова
- •§ 5. Многозначные логики
- •Трехзначная система Лукасевнча
- •Отрицание Лукасевича
- •Трехзначная система Гейтинга
- •Импликация Гейтинга
- •Две бесконечнозначные системы Гетмановой:
- •§ 6. Законы исключенного третьего и непротиворечия в неклассических логиках (многозначных, интуиционистской, конструктивных)
- •§ 7. Модальные логики
- •§ 8. Положительные логики
- •§ 9. Паранепротиворечивая логика
- •Заключение
- •1. Предмет и значение логики.
- •2. Понятие.
- •3. Суждение.
- •4. Умозаключение.
- •5. Логические основы теории аргументации.
- •Список символов
- •Логика классов
§ 5. Многозначные логики
В многозначных
логиках число значений истинности
аргументов и функций для высказываний
может быть любым конечным (больше
двух) и даже бесконечным. В настоящем
параграфе используются так называемая
польская запись, которую применял
Лукасевич, и обычная, применяемая в
двузначной логике: отрицание
обозначается через Nx
или,
конъюнкция - через Кху
или х
v
у,
нестрогая дизъюнкция - через Аху
или х v
у, материальная
импликация - через Сху
или х→
у.
Значение функции от аргумента а
записывается так: [а].
Тавтологией
(или общезначимой, или законом логики,
или тождественно-истинной) называется
формула, которая при любых комбинациях
значений входящих в нее переменных
принимает выделенное (или отмеченное)
значение; как правило, это значение
“истина” (чаще всего в рассматриваемых
системах “истина” обозначается цифрой
1).
Развитие многозначных логик подтверждает мысль, что истина всегда конкретна, а также положение об относительном характере конкретно-научных знаний: то, что является тождественно-истинным в одной логической системе, не оказывается тождественно-истинным в другой.
________________
'См.: Доклады АН СССР. 1974. Т. 214, № 1-6; Т. 215, № 1.
417
Трехзначная система Лукасевнча
Трехзначная
пропозициональная логика (логика
высказываний) была построена в 1920 г.
польским математиком и логиком Я.
Лукасевичем (1878-1956)'. В ней “истина”
обозначается 1, “ложь” - 0, “нейтрально”
- 1/2.
В
качестве основных функций взяты
отрицание (Nx)
и импликация (Сху);
производными являются конъюнкция (Кху)
и дизъюнкция (Аху).
Тавтология принимает значение 1.
Отрицание и импликация соответственно определяются матрицами (таблицами) так:
Импликация Лукасевича | |||
X \ y |
1 |
1/2 |
0 |
1 |
1 |
1/2 |
0 |
1/2 |
1 |
l |
1/2 |
0 |
1 |
l |
1 |
Отрицание Лукасевича
х |
Nx |
1 |
0 |
1/2 |
1/2 |
0 |
1 |
[Nx] =1-[x]
'См.: Lukasiewicz J. О pojeciu mozliewosci //Buch Filozoficzny. Lwow. 1920. Vol. 5. № 9.
418
Конъюнкция определяется как минимум значений аргументов: [Кху] = min ( [х],[у]); дизъюнкция - как максимум значений х и у[Аху]=таx ([х],[у]).
Пользование таблицей для импликации Лукасевича, выраженной в форме х → у, происходит так. Слева в первой колонке написаны значений для х, а сверху - значения для у. Возьмем, например [х] = 1/2 (т. е. значение для х, равное 1/2 ), а [у] = 0, получаем импликацию 1/2→ 0. На пересечении получаем результат 1/2 .
Если
в формулу входит одна переменная, как,
например, в случае формулы a
, то таблица истинности для этой формулы,
включающая все возможные значения
истинности, или ложности, или
неопределенности ее переменной в
таблице, будет состоять из 3' = 3 строки;
при двух переменных в таблице будет 32
= 9 строк; при
трех переменных в таблице
имеем З3
= 27 строк; при n
переменных будет 3n
строк.
Покажем, как
происходит доказательство для формул
a
(закон
исключенного третьего) и для
( закон непротиворечия), содержащих
одну переменную, т. е. а. В таблице будет
всего 3' = 3 строки.
a |
|
a |
a
^
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Для
доказательства формулы a
используем знание о том, что дизъюнкция
берется по максимуму. В третьей колонке,
соответствующей a,
видим, что вместе со значениями 1 есть
значение 1/2
. Следовательно, эта формула не есть
закон логики. Аналогично строятся
колонки 4 и 5, только соблюдая условие,
что конъюнкция берется по минимуму
значений. Формула
также
не является законом логики.
Теперь
посмотрим, является ли законом логики
формула (х
→ (^
у))
→
,
содержащая две переменные х
и у
В таблице будет З2
= 9 строк. Распределение значений
истинности для х
и у
показано
в первой и второй колонках.
419
Вывод: так как в последней колонке встречается два раза значение неопределенности (т. е. 1/2), то данная формула не является законом логики.
На основе данных
определений отрицания, конъюнкции и
дизъюнкции Лукасевича не будут
тавтологиями (законами логики) закон
непротиворечия и закон исключенного
третьего двузначной логики. В системе
Лукасевича не являются тавтологиями и
отрицания законов непротиворечия и
исключенного третьего двузначной
логики. Поэтому логика Лукасевича не
является отрицанием двузначной
логики. В логике Лукасевича тавтологиями
являются: правило снятия двойного
отрицания, все четыре правила де
Моргана и правило контрапозиции: а
→ b
→
.
Не являются тавтологиями правила
приведения к абсурду двузначной логики;(х
→
)
→
и(х→
(
^
у))
→
(т. е. если изх
вытекает противоречие, то из этого
следует отрицание х).
Это было доказано (см. таблицу 3).
Таблица 3
x |
у |
|
|
|
x→( |
(x→
( |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1/2 |
0 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1/2 |
1 |
1/2 |
0 |
0 |
1/2 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
1 |
1/2 |
1/2 |
0 |
1/2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1/2 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы разделительно-категорического силлогизма с нестрогой дизъюнкцией.
Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение 1/2, то в логике
420
Лукасевича и в двузначной логике определение функций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответственно совпадут. Но так как в логике Лукасевича имеется третье значение истинности –1/2, то не все тавтологии двузначной логики являются тавтологиями в логике Лукасевича.