Приложение Некоторые понятия математики и логики, используемые в лингвистике

§ 179. В последние десятилетия в языкознании усилилось стремление к тому, чтобы лингвистические описания имели максимально точный, строгий и объективный характер. Описание языка обладает указанными признаками, если существуют определения лингвистических понятий, в принципе исключающие возможность различных толкований, а также имеются столь же точные, полные и недвусмысленные правила оперирования этими понятиями и приложения их к конкретному фактическому материалу (ср. § 197). Соблюдение изложенных требований делает весьма маловероятной ситуацию, при которой разные лингвисты, работающие с одним и тем же материалом, получают несовпадающие результаты¹⁰⁷. Иначе говоря, результаты, полученные ученым, который использует точные методы исследования, должны быть воспроизводимыми: в рамках принятой системы понятий и методики они зависят лишь от объективных условий, т. е. от характера материала, поэтому другой исследователь на том же материале должен прийти к тем же выводам.

Вполне естественно, что в современных лингвистических работах, обнаруживающих стремление к точности анализа, нередко используются понятия и приемы логики и математики — наук, предоставляющих в распоряжение исследователя универсальный аппарат, который может быть использован для точного, свободного от субъективизма изучения и описания объектов самой разной природы. Не владея некоторыми элементарными понятиями из области логики и математики, иногда трудно следить за новейшей лингвистической литературой.

Необходимо сразу же сказать, впрочем, что использование специальных понятий математики в языкознании еще не есть математическое решение лингвистических проблем¹⁰⁸. Гораздо чаще применение математических понятий реально служит скорее для уточнения, лучшего уяснения и более корректного изложения хода лингвистического анализа и его результатов, нежели для исследования, как такового. Думается, однако, что даже и эти возможности, которые дает нам математика, не следует игнорировать. _/172//173/

Описанное выше положение во многом объясняется тем, что математика создавалась для изучения относительно простых объектов, которые более или менее легко поддаются формализации. Для анализа же столь сложных систем, как язык (или общество), «поведение» которых сравнительно слабо детерминировано, необходим, вероятно, особый математический и логический аппарат. Создание аппарата этого рода — дело будущего¹⁰⁹.

Особое место занимает в языкознании применение методов математической статистики. Без математико-статистической обработки данных невозможно обойтись в любом исследовании, оперирующем обширным фактическим материалом, который в принципе не может быть однородным и в котором можно обнаружить лишь статистические закономерности. Такая ситуация типична для экспериментальной фонетики, имеющей дело с результатами измерений параметров речи, для психолингвистических экспериментов, социолингвистических исследований и т. п. В этой небольшой книге практически невозможно изложить методику математико-статистической обработки опытных данных. Ниже мы остановимся лишь на разъяснении наиболее элементарных понятий неколичественной математики и логики.

§ 180. Одним из основных математических понятий является понятие множества. Определения множества не существует по той причине, что не существует более широкого понятия, частным случаем которого оно являлось бы. (Так, мы говорим: Млекопитающие — это животные, которые..., Звезды — это небесные тела, которые..., но для определения множества у нас нет слова, которое можно было бы употребить в соответствующем высказывании после слова это.)

Множество трактуют как совокупность предметов, объединенных каким-либо общим признаком, где слово «совокупность» просто синоним «множества», а не термин для более широкого понятия. Признак, объединяющий предметы в составе множества, может быть каким угодно. Например, все фонемы данного языка представляют собой некоторое множество, все словоформы данного текста образуют определенное множество, все тексты на русском языке составляют множество и т. д. и т. п.

Предметы, составляющие данное множество, называют его элементами. Запись A = {x, y, ..., z} означает, что существует множество A, которое состоит из элементов x, y, ...z.

Множество задают либо простым перечислением всех его элементов, либо путем указания на признак (или признаки) этих элементов. Например, мы можем задать множество A = {п, п’, б, б’, в, в’, м, м’, ф, ф’} путем перечисления всех его элементов (как это и сделано выше), но то же множество можно задать и путем указания на признак его элементов: A есть множество всех губных согласных русского языка.

Множество может состоять из одного-единственного элемента. Например, множество заднеязычных щелевых фонем русского языка состоит из одного элемента — фонемы х. _/173//174/

Множество может быть пустым, т. е. не содержать ни одного элемента. Например, множество придыхательных русского языка является пустым¹¹⁰. Точно так же пустым является множество форм будущего времени совершенного вида 1‑го лица единственного числа глагола победить.

§ 180.1. Элементом множества может быть другое множество. В таких случаях говорят о подмножествах данного множества. Например, согласные составляют подмножество множества всех фонем, а губные согласные, в свою очередь, — подмножество множества согласных.

Принадлежность элемента множеству принято записывать так: xA (читается: «элемент x принадлежит множеству A»). Принадлежность подмножества записывается так: AM (читается: «множество A является подмножеством множества M»).

§ 180.2. У двух или более множеств могут быть общие элементы. Множество C, которое состоит из тех, и только тех элементов множеств A и B, которые принадлежат обоим этим множествам (A и B), называется произведением, или пересечением, множеств A и B. О множествах A и B в таком случае говорят, что они пересекаются. Например, множество всех губных согласных и множество всех звонких согласных русского языка пересекаются: в качестве их произведения выступает множество C = {б, б’, в, в’}.

Суммой, или объединением, множеств A и B называется множество C, которое включает все элементы A и все элементы B, и никакие другие элементы в множество C не входят. Например, сложение множества гласных и множества согласных дает сумму — множество всех фонем данного языка¹¹¹.

Множества A и B, в сумме дающие C, могут одновременно пересекаться. Чтобы учесть и этот случай, говорят, что C, т. е. объединение множеств A и B, есть множество всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств-слагаемых, т. е. A или B. Например, если мы объединим множество A глухих согласных русского языка и множество B переднеязычных русских согласных, то часть элементов множества-суммы C будет принадлежать одновременно и A, и B (т, т’, ц, с, с’), часть же — только A (п, п’, ф, ф’, ш, ч, к, к’, х, х’) или только B (д, д’, з, з’, н, н’, л, л’).