Еще пример задания:

Сколько различных решений имеет уравнение

((J → K)→(M  N  L))  ((M  N  L)→(¬J  K))  (M → J) = 1

где J, K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение (вариант 1, использование свойств импликации):

1. перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

2. логическое произведение трех сомножителей равно единице, поэтому каждый из них должен быть тоже равен единице

3. учитывая, что ,и выполняя заменыи , получаем

.

4. рассмотрим последнюю импликацию, которая должна быть равна 1: ; по таблице истинности импликации сразу находим, что возможны три варианта:

1. 

2. 

3. 

5. поскольку все (в том числе и первые две) импликации должны быть равны 1, по таблице истинности импликации сразу определяем, что , то есть

6. в случае «а» последнее уравнение превращается в и не имеет решений

7. в случае «б» имеем , тогда как и – произвольные; поэтому есть 4 решения, соответствующие четырем комбинациям и

8. в случае «в» получаем , то есть для есть единственное решение (), а для – три решения (при ;и; и)

9. проверяем, что среди решений, полученных в п. 7 и 8 нет одинаковых

10. таким образом, всего есть 4 + 1 + 3 = 8 решений

11. ответ – 8

Решение (вариант 2, использование свойств импликации, А.М. Фридлянд, УГАТУ):

1. перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

2. логическое произведение трех сомножителей равно единице, поэтому каждый из них должен быть тоже равен единице

3. учитывая, что ,и выполняя заменыи , получаем

.

4. преобразуем первые две скобки: , где знакозначает операцию «эквивалентность». Так как это выражение должно быть истинным, значения и совпадают. Поэтому исходное уравнение распадается на 2 случая:

1. 

2. 

5. В случае а) из первого уравнения сразу получаем, что . Тогда третье уравнение справедливо при любом , а второе имеет 7 решений (любое, кроме ).

6. в случае б) из второго уравнения получаем: , но тогда из третьего уравнения следует, что (иначе), а тогда и (иначе).

7. таким образом, всего есть 7 + 1 = 8 решений

8. ответ – 8

Решение (вариант 3, декомпозиция, автор идеи – А. Сидоров, ЭПИ МИСИС):

1. перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

2. идея заключается в том, что мы выбираем одну какую-нибудь переменную и отдельно рассматриваем случаи, когда она равна 0 и 1; такой подход, когда большая задача разбивается на несколько более простых, называют декомпозицией

3. логическое произведение трех сомножителей равно единице, поэтому каждый из них должен быть тоже равен единице

4. например, пусть ; тогда требуется, чтобы, по таблице истинности импликации получается, что при этомможет быть любое («из лжи следует что угодно»);

5. выполним второй шаг декомпозиции: рассмотрим отдельно варианты и

6. при иполучаем

это равенство истинно, если , а такого не может быть, то есть в этом случае решений нет

7. при иполучаем

это равенство истинно только при (иначе первая скобка равна нулю), но у нас никак не ограничены значенияипоэтому получается, что прииесть4 решения(прии всех 4-х различных комбинацияхи)

8. теперь проверяем вариант, когда ; при этом

так как должно быть , по таблице истинности операции импликация сразу получаеми уравнение преобразуется к виду

9. выполним второй шаг декомпозиции: рассмотрим отдельно варианты и

10. при получаем, откуда сразу следует, что(3 решения:;и)

11. при получаем, откуда сразу следует, что(1 решение:)

12. таким образом, уравнение всего имеет 4+3+1 = 8 решений

13. ответ – 8

Решение (вариант 4, декомпозиция, автор идеи – А. Сидоров, ЭПИ МИСИС):

1. та же декомпозиция, но в другом порядке

2. сделаем сначала декомпозицию по

3. рассмотрим вариант, когда ; подставляя это значение в уравнение

получаем

4. учитывая, что при любом(«из лжи следует все, что угодно»), находим

5. отсюда сразу следует, что и по таблице истинности операции импликация определяем, что ; учитывая это, получаем

этого не может быть, потому что первая скобка равна нулю; поэтому при решений нет

6. теперь пусть , тогдаи , поэтому остается уравнение

7. выполним декомпозицию по переменной

8. при получаем , что верно при условии ; из всех 8-ми комбинаций значений переменных , и только одна этому условию не удовлетворяет (), поэтому имеем7 решений

9. при получаем , что верно при условии ; из 8-ми комбинаций значений переменных , и только одна () удовлетворяет этому условию, поэтому имеем1 решение

10. таким образом, уравнение всего имеет 7+1 = 8 решений

11. ответ – 8

Возможные проблемы: при использовании метода декомпозиции важен порядок выбора переменных для разбиения; можно рекомендовать в первую очередь делать декомпозицию по той переменной, которая чаще всего встречается в уравнении нужно помнить, что импликация равна нулю только в случае , часто именно это свойство позволяет упростить решение

Решение (вариант 5, комбинированный, Т.Н. Наумова, ХМАО, Пыть-Ях, МОУ СОШ №5):

1. перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

2. имеем логическое произведение трех выражений, которое истинно тогда и только тогда, когда каждое выражение истинно; таким образом, нужно решить систему логических уравнений

3. идея состоит в том, чтобы найти все решения одного из уравнений и проверить истинность остальных двух для всех полученных на предыдущем шаге комбинаций значений переменных

4. рассмотрим первое уравнение: ; оно справедливо в двух случаях:

   1. ,– любое, или, где звездочка означает, что переменная может принимать значения 0 или 1; всего получается8 вариантов

   2. ,, что дает ещётри варианта:– два варианта

– один вариант

5. остается проверить истинность второго ()и третьего () равенств для этих 11 вариантов; сразу видим, что импликация ложна только тогда, когда , то есть для комбинации (10111), а импликация ложна для при любых значениях остальных переменных:

   J	K	L	M	N
   1	0	0	0	0	1	1	
   1	0	0	0	1	1	1	
   1	0	0	1	0	1	1	
   1	0	0	1	1	1	1	
   1	0	1	0	0	1	1	
   1	0	1	0	1	1	1	
   1	0	1	1	0	1	1	
   1	0	1	1	1	0	1
   0	0	1	1	1	1	0
   0	1	1	1	1	1	0
   1	1	1	1	1	1	1	

6. таким образом, остается 8 вариантов, отмеченных галочками справа от таблицы

7. ответ – 8