3. Равносильные формулы алгебры логики

3.1 Классификация формул алгебры высказываний.

Формула Хназываетсятождественно истинной (или тавтологией),если она превращается в истинное высказывание, то есть принимает значение 1, при всех наборах значений входящих в нее переменных. Тавтологии представляют собой схемы построения истинных высказываний, независимо от содержания и истинности составляющих элементарных высказываний.

Формула Хназываетсятождественно ложной,если она принимает значение 0 при всех наборах значений входящих в нее переменных.

Две формулы алгебры логики XиYназываютсярав­носильными, если при любых значениях входящих в них высказывательных переменных логические значения высказываний, получающихся из формулXиY, совпадают. Для указания равносильности формул использу­ют обозначение.

Существует тесная связь между понятием равно­сильности формул и понятием тавтологии.

Признак равносильности формул.Две формулыXиYалгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда формулаявляется тавто­логией, и обратно, если формула– тавтология, то формулыXиYравносильны.

Отношение равносильности между формулами алгебры высказываний:

а) рефлексивно: ;

б) симметрично: если , то ;

в) транзитивно: если и, то.

3.2 Примеры равносильных формул.Равносильности формул алгебры логики часто называютзаконами логики.

Вот наиболее важные из них:

1. –закон тождества.

2. –закон противоречия.

3. –закон исключенного третьего.

4. –закон двойного отрицания.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. ; – законы идемпотентности.

10. ; – законы поглощения.

11. ; – законы склеивания.

12. законы коммутативности (переместительности):

–коммутативность конъюнкции;

–коммутативность дизъюнкции.

13. законы ассоциативности (сочетательности):

–ассоциативность конъюнкции;

–ассоциативность дизъюнкции.

14. законы дистрибутивности (распределительности):

–дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

–дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

15. ; – законы де Моргана.

Доказать эти равносильности можно, например, с помощью таблиц истинности.

Пример.

Докажем равносильность – закон де Моргана. При любых комбинациях значений, от которых зависят формулыXиY, эти формулы принимают некоторые логические значения. Всего будет четыре способа распределения логических значенийXиY. Надо показать, что в каждом из этих случаев значения левой и правой части равносильностисовпадают.

X	Y
0	0		1	1	0	1	1
0	1		1	0	0	1	1
1	0		0	1	0	1	1
1	1		0	0	1	0	0

Логические значения в последних двух столбцах совпадают, следовательно, закон де Моргана справедлив.

Имеют место равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

Импликация выражается через:

16. –дизъюнкцию и отрицание;

17. –конъюнкцию и отрицание.

Эквиваленциявыражается через:

18. –конъюнкцию и импликацию;

19. –конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание;

20. –конъюнкцию и отрицание.

Из этих равносильностей следует вывод, что любую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, которая будет содержать только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание. Дальнейшее исключение логических операций невозможно.

Существует логическая операция, через которую можно выразить любую из пяти логических операций, которыми мы пользуемся: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Эта операция называется «штрих Шеффера», обозначается символом и определяется таблицей истинности

X	Y
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Согласно таблице, имеем: ;.