Алгебра высказываний.

1. Высказывания и операции над ними

1.1 Понятие высказывания. Основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Подвысказыванием понимается предложение, представляющее собой такое утверждение, о котором можно судить, истинно оно или ложно. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний.

1. Москва – столица России.

2. Омск находится на берегу Волги.

3. 3+2=5.

4. Кислород – газ.

5. 3<2.

Высказывания 1), 3), 4) истинны, а высказывания 2), 5) ложны.

Не всякое предложение является высказыванием. К высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения. Предложения «Математика – интересный предмет», «Осень – лучшая пора года» не являются высказываниями, так как нет единого мнения о том, истинны эти предложения или ложны. Предложения «Сегодня плохая погода», «3х<2» также не являются высказываниями, для того чтобы определить их истинность или ложность, нужны дополнительные сведения: конкретный день, о котором идет речь; значение, которое принимаетх.

Высказывания, представляющие собой одно утверждение, называют простымилиэлементарным. Из элементарных высказываний с помощью логических связок можно построить высказывания, называемыесложнымиилисоставными. Образование составного высказывания с помощью логической связки называютлогической операцией.

Из элементарных высказываний можно получить составные с помощью логических связок «не», «неверно, что», «и», «или», «если…, то…», «либо», «тогда и только тогда». Остальные логические связки либо близки по смыслу к каким-либо указанным, либо могут быть заменены их комбинацией. Например, союзы «а», «но» близки по смыслу союзу «и».

Так, из элементарных высказываний «На улице светит солнце» и «В классе идут занятия» можно образовать следующие составные высказывания: «На улице светит солнце, и в классе идут занятия»; «В классе не идут занятия, а на улице светит солнце»; «На улице светит солнце, или в классе идут занятия»; «Если на улице светит солнце, то в классе идут занятия»; «На улице светит солнце тогда и только тогда, когда в классе идут занятия».

В алгебре высказываний все высказывания рассматриваются не с точки зрения их содержания, а с точки зрения их истинности или ложности, то есть их логического значения. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, ни одно высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным. Истинное значение высказывания обозначают буквой и (истина) или символом1, ложное значение – буквойл (ложь) или символом0.

1.2 Логические операции над высказываниями.

Над высказываниями определяются следующие основные логические операции, которые позволяют из имеющихся высказываний строить новые сложные высказывания: 1) отрицание (инверсия); 2) конъюнкция; 3) дизъюнкция; 4) импликация; 5) эквиваленция.

Отрицание (инверсия).

Отрицанием высказыванияА называется новое высказывание, которое истинно, если исходное высказывание А ложно, и ложно, если высказы­вание А истинно. Отрицание А обозначается( иногда обозначается А) и читает­ся:«неА» или «неверно, чтоА». Логическое значение высказывания связано с логическим значением выска­зыванияА, как указано в таблице, которую называют таблицей истинности операции отрицания:

А
0	1
1	0

Примеры.

1. Для истинного высказывания «Число 24 делится на число 6» (А) отрицание будет ложное высказывание «Число 24 не делится на число 6» () или «Неверно, что число 24 делится на число 6» ().

2. Для ложного высказывания «» (А) отрицание будет истинное высказывание «Неверно, что», то есть высказывание «» ().

Конъюнкция (логическое умножение).

Конъюнкцией двух высказыванийА и В, называется новое высказывание, которое истинно в единственном случае, когда истинны оба исходных высказыва­ния,АиВ, и ложно во всех остальных случаях. Конъюнкция высказываний А и В обозначаетсяА /\ В илиА& В, читается «А и В». Высказывания А, В называются членами конъюнкции. Логические значения высказыванияА /\ В,связанные с логическими значениями высказыванийАиВ, описываются таблицей, называемой таблицей истинности опе­рации конъюнкции:

А	В	А /\ В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Примеры.

1. Для высказываний «Число 2 четное», «число 2 простое» их конъюнкцией будет высказывание «Число 2 четное и число 2 простое», которое будет истинным, так как истинны оба простых исходных высказывания.

2. Для высказываний «Омск находится на берегу Волги», «3+2=5» их конъюнкцией будет высказывание «Омск находится на берегу Волги и 3+2=5», которое будет ложным, так как ложно первое простое высказывание.

Дизъюнкция (логическое сложение).

Дизъюнкцией двух высказываний, А и В, называется новое высказывание, которое истинно в тех случаях, когда хотя бы одно из высказываний, А или В, истинно, и ложно в единственном случае, когда оба высказывания, А и В, ложны. Дизъюнкция высказываний А, В обозначаетсяА \/ В и читается «А или В». Высказывания А, В называются членами дизъюнкции. Логические значения высказыванияА \/ В,связанные с логическими значениями высказыванийАиВ, описываются таблицей, называемой таблицей истинности опе­рации дизъюнкции:

А	В	А \/ В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Пример.

Для высказываний «Число 28 делится на 7», «Число 28 делится на 5» их дизъюнкцией будет высказывание «Число 28 делится на 7 или на 5». Дизъюнкция высказываний есть истинное высказывание лишь в случае, когда по меньшей мере одно из входящих в дизъюнкцию высказываний истинно. Высказывание «Число 28 делится на 7» истинно, высказывание «Число 28 делится на 5» ложно , а дизъюнкция двух этих высказываний истинна.

Импликация.

Импликацией двух высказыва­ний Аи В, называется новое высказывание, которое ложно в единственном случае, когда высказывание А истинно, а В – ложно, а во всех остальных случаях – истинно. Импликация высказываний А, В обозначаетсяи читается: «еслиА,то В», или «из А следует В», или «А влечет В», или «А достаточно для В». Иногда импликацию обозначают символомили.

В высказывании высказываниеА называется условием или по­сылкой , а высказываниеВ –следствием или заключением импликации. Логическое значение высказываниясвязанные с логическими значениями высказываний А и В, описываются таблицей, называемой таблицей истинности операции импликации:

А	В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Примеры.

1. Для высказываний «Число 28 делится на 7», «Число 28 делится на 4» их импликацией будет высказывание «Если число 28 делится на 7, то число 28 делится на 4». Так как высказывание-посылка «Число 28 делится на 7» истинно и высказывание-следствие «Число 28 делится на 4» истинно, то и составное высказывание на основании определения импликации также истинно.

2. Для высказываний «2+2=5», «2<3» их импликацией будет высказывание «Если 2+2=5, то 2<3». Так как высказывание-посылка «2+2=5» ложно, а высказывание-следствие «2<3» истинно, то составное высказывание на основании определения импликации истинно.

Эквиваленция.

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказы­ваний, А и В, называется новое высказывание, которое истинно в том и только в том случае, когда одновременно оба высказыва­ния, А и В, либо истинны, либо ложны, а в остальных слу­чаях – ложно. Эквиваленция высказываний А, В обозначаетсяи читается «А эквивалентно В», или «для того, чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы В», или «А тогда и только тогда, когда В», или «А равносильно В». Высказывания А, В называются членами эквиваленции. Логические значения высказывания,связанные с логическими значениями высказыванийАиВ, описываются таблицей, называемой таблицей истинности опе­рации эквиваленции:

А	В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Примеры.

1. Для высказываний «Омск находится на берегу Волги», «2<3» их эквиваленцией будет высказывание «Омск находится на берегу Волги тогда и только тогда, когда 2<3». Так как высказывание «Омск находится на берегу Волги» ложно, а высказывание «2<3» истинно, то составное высказывание на основании определения эквиваленции ложно.

2. Для высказываний «9 делится на 4», «9 делится на 7» их эквиваленцией будет высказывание «9 делится на 4 тогда и только тогда, когда 9 делится на 7». Оба высказывания, к которым применяется связка «тогда и только тогда, когда», ложны. Поэтому все составное высказывание на основании определения эквиваленции истинно.