Элементы математической логики

Часто большинству из нас приходится делать выводы и заключе­ния. На чем они основаны? На нашем опыте, интуиции. В любом случае, чтобы сделать вывод или заключение, необходимы исходные данные - посылки и правила - законы, которые обрабатывают исход­ные посылки и выводят заключения.

В повседневной жизни процесс вывода заключений происходит в большей степени подсознательно, интуитивно, в соответствии с на­копленным индивидуальным опытом и, поэтому в существенной сте­пени может иметь субъективный характер. Выводы или суждения, сделанные одним человеком в тех или иных ситуациях, могут частич­но или полностью не совпадать с выводами и заключениями другого индивидуума.

Тем не менее, все возрастающее число задач научной, технической и технологической направленности требует от нас однозначного при­нятия решений или однозначного вывода заключений в соответствии с исходным набором посылок. К числу практически важных задач «логики» относится вывод или построение заключения на базе опре­деленных правил в соответствии с исходными посылками.

Термин «логика» про­исходит от греческого слова логос, что означает «мысль», «разум», «слово», «понятие». Логика (или фор­мальная логика) как наука изучает мышление. Но мышле­ние изучается не только логикой, а и различными другими науками: психологией, физиологией, кибернетикой, педаго­гикой и т. д. Каждая из них изучает какую-то одну из сторон сложного процесса мышления. Логика есть наука о законах и формах правильного мышления. Она изучает фор­мы рассуждении, отвлекаясь от их конкретного содержа­ния; устанавливает, что из чего следует, ищет ответ на воп­рос: как мы рассуждаем?

Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г. до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формаль­ной или Аристотелевой логикой.

Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. Естественно, что развитие математики выявило недостаточность Аристо­телевой логики и потребовало дальнейшего ее развития.

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким ма­тематиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением. «Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, что­бы облегчить сам процесс нашего мышления» (Лейбниц).

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому ученому Д. Булю (1815-1864). Он создал ал­гебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Введение символи­ческих обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обо­значений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки — математической логики.

Применение математики к логике позволило пред­ставить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач,

малодоступных человеческому мышлению, и это, ко­нечно, расширило область логических исследований. К концу XIX столетия актуальное значение для мате­матики приобрели вопросы обоснования ее основных по­нятий и идей. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию мате­матической логики. В этом отношении показательны работы немецкого математика Г. Фреге (1848-1925) и итальянского математика Д. Пеаво (1858-1932), кото­рые применили математическую логику для обоснова­ния арифметики и теории множеств.

Особенности математического мышления объясняют­ся особенностями математических абстракций и много­образием их взаимосвязей. Они отражаются в логичес­кой систематизации математики, в доказательстве ма­тематических теорем. В связи с этим современную мате­матическую логику определяют как раздел математи­ки, посвященный изучению математических доказа­тельств и вопросов оснований математики.

Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматичес­кого метода в построении различных математических те­орий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики, теории групп и т. д.

В аксиоматическом построении математической тео­рии предварительно выбирается некоторая система неоп­ределяемых понятий и отношения между ними. Эти по­нятия и отношения называются основными. Далее без доказательства принимаются основные положения рас­сматриваемой теории - аксиомы. Все дальнейшее содер­жание теории выводится логически из аксиом. Впервые аксиоматическое построение математической теории бы­ло предпринято Евклидом в построении геометрии.

Изложение этой теории в «Началах» Евклида не без­упречно. Евклид здесь пытается дать определение исход­ных понятия (точки, прямой, плоскости). В доказатель­стве теорем используются нигде явно не сформулирован­ные положения, которые считаются очевидными. Таким образом, в этом построении отсутствует необходимая логическая строгость, хотя истинность всех положений теории не вызывает сомнений.

Отметим, что такой подход -к аксиоматическому пос­троению теории оставался единственным до XIX века. Большую роль в изменении такого подхода сыграли ра­боты Н. И. Лобачевского (1792-1856). Лобачевский впервые в явном виде высказал убежде­ние в невозможности доказательства пятого постулата Ев­клида и подкрепил это убеждение созданием новой геомет­рии. Позже немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем фактически была доказана и невозможность доказатель­ства пятого постулата Евклида.

Так возникли и были решены в работах Н. И. Лоба­чевского и Ф. Клейна впервые в истории математики про­блемы невозможности доказательства я непротиворечи­вости в аксиоматической теории. Непротиворечивость аксиоматической теории явля­ется одним из основных требований, предъявляемых к системе аксиом данной теории. Она означает, что из дан­ной системы аксиом нельзя логическим путем вывести два противоречащих друг другу утверждения.

Доказательство непротиворечивости аксиоматических теорий можно осуществить различными методами. Одним из них является метод моделирования или интерпретаций. Здесь в качестве основных понятий и отношений выбира­ются элементы некоторого множества и отношения между ними, а затем проверяется, будут ли выполняться для выб­ранных понятий и отношений аксиомы данной теории, то есть строится модель для данной теории. Так, аналитичес­кая геометрия является арифметической интерпретацией геометрии Евклида. Ясно, что метод моделирования сво­дит вопрос о непротиворечивости одной теории к проблеме непротиворечивости другой теории.

Большинство интерпретаций для математических теорий (и, в частности, для арифметики) строится на базе теории множеств, в связи с этим важно доказать непротиворечивость теории множеств.

Однако в конце XIX века в теории множеств были обнаружены противоречия (парадоксы теории мно­жеств). Попытки устранить противоречия в теории множеств привели Цермело к необходимости построить аксиома­тическую теорию множеств. Последующие видоизмене­ния и усовершенствования этой теории привели к созда­нию современной теории множеств. Однако средства этой аксиоматической теории не позволяют доказать ее не­противоречивость.

Другие методы обоснования математики были развиты Д. Гильбертом (1862-1943) и его школой. Они основывают­ся на построении математических теорий как синтаксичес­ких теорий, в которых все аксиомы записываются форму­лами в некотором алфавите и точно указываются правила вывода одних формул из других, то есть в теорию как со­ставная часть входит математическая логика.

Таким образом, математическая теория, непротиво­речивость которой требовалось доказать, стала предме­том другой математической теории, которую Гильберт назвал метаматематикой, или теорией доказательств.

В связи с этим возникает задача построения синтакси­ческой, то есть формализованной аксиоматической тео­рии самой математической логики. Выбирая по-разному системы аксиом и правила вывода одних формул из дру­гих, получают различные синтаксические логические тео­рии. Каждую из них называют логическим исчислением.

XX век стал веком бурного развития математической логики, формирования многочисленных новых ее разделов. Были построены различные аксиоматические теории мно­жеств, выработано несколько формализации понятия алго­ритма, а сама теория алгоритмов была настолько развита, что ее методы стали проникать в другие разделы матема­тической логики, а также в другие математические дис­циплины. Так, на стыке математической логики и алгебры возникла теория моделей. Были созданы многочисленные новые неклассические логические системы. В XX веке началось глубокое проникно­вение идей и методов математической логики в технику (и прежде всего в конструирование и создание ЭВМ), кибер­нетику, вычислительную математику, структурную лингви­стику.

Математическая логика, или символическая логика, – это раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.

Простейший раздел математической логики – алгебра высказываний. Алгебра высказываний используется для решения математических задач, при написании программ и алгоритмов, разработке компьютеров, электронных устройств, автоматических систем.

С применением законов алгебры логики создаются элементные базы, а на их основе создаются устройства, реализующие логические функции.