НЕЧЕТКИЕ ЗНАНИЯ
Во всех предметных областях существенное место занимают некорректные, нечетко формулируемые задачи. Реальный человеческий способ рассуждения (опирающийся на естественный язык) не может быть описан в рамках традиционных математических формализмов, предполагающих
однозначность интерпретации.
Другими словами, знания чаще всего нечетки. Возникла
необходимость создания теории, позволяющей формально описывать нестрогие, нечеткие понятия и моделировать рассуждения, содержащие такие понятия.
Нечеткими называются такие знания, которые допускают суждения об относительной степени истинности или ложности.
ПРИЧИНЫ НЕЧЕТКОСТИ ЗНАНИЙ
-присутствие неопределенности в фактическом знании,
-неточность языка представления знаний,
-знания, основанные на неполной информации,
-неопределенность, появляющаяся при агрегации (объединении в одну систему) знаний, полученных из разных источников и пр.
Теорию нечетких множеств предложил ам. ученый Лофти
Заде в 1965 году. Главная идея подхода Заде заключается в использовании для моделирования рассуждений нечеткой логики. Заде ввел одно из главных понятий в нечеткой логике –
понятие лингвистической переменной. Использование этого подхода позволяет построить
«нечёткие» аналоги основных математических понятий и создать формальный аппарат для моделирования человеческого способа решения задач.
НЕЧЁТКАЯ ЛОГИКА
Лингвистическая переменная (ЛП) – это переменная, значение которой определяется набором вербальных (словесных) характеристик
некоторого свойства. Например, ЛП «рост» определяется набором вербальных значений {карликовый, низкий, средний…}.
В нечёткой логике степень истинности или степень ложности каждого нечеткого высказывания (или ЛП) принимает значения из отрезка от 0 до 1, причем 0 и 1 совпадают с понятиями ложь и истина для чётких высказываний. Степень истинности 0,7, например, это не вероятность в статистическом смысле, а некоторое произвольное субъективное значение.
Составные высказывания (как и в обычной логике высказываний)
образуются из простых с помощью логических операций отрицания (не), конъюнкции (и), дизъюнкции (или), импликации /замещения/ 
( ), эквиваленции ( ). Так степень истинности комбинации высказываний s1 и s2, имеющих соответственно степени истинности p1 и p2, в нечеткой логике может быть определена следующим образом.
Конъюнкция: высказывание s1 «И» s2 имеет истинность p = min (p1, p2).
Дизъюнкция: высказывание s1 «ИЛИ» s2 имеет истинность p = max (p1, p2).
Отрицание: высказывание «НЕ» s1 имеет истинность p = 1 - p1.
Импликация: s1 
s2 можно представить логической формулой
(«НЕ» s1) “ИЛИ” s2,
то истинность импликации нечётких высказываний может быть
определена как
p = max (1 - p1, p2).
Эквивалентность: s1 
s2 можно представить логической формулой
(s1 
s2) “И” (s2 
s1) или при нечётких высказываниях p = min (max (1 - p1, p2), max (p1, 1 - p2)).
Здесь истинность эквиваленции р = 1 при р1 = р2 = 0 и р1 =р2 = 1, р = 0,5 при р1 = р2 = 0,5.
ПРИМЕР – нечеткая логика
s1: Иванов – успешный студент, степень истинности р1 = 0,7, s2: Петров – успешный студент, степень истинности р2 = 0,4.
1. Оба успешные студенты
s1 И s2 – конъюнкция р = мин (0.7, 0.4) = 0.4 – истинность решения.
2. Есть ли среди них успешный студент?
s1 ИЛИ s2- дизъюнкция (кто-то из них успешный). Степень истинности р = мах (0.7, 0.4) = 0.7.
3. Иванов - НЕ успешный студент?
s1 – отрицание. Степень истинности р = 1 – р1 = 1 – 0.7 = 0.3.
4. Иванов такой же успешный как Петров?
s1 
s2 - Замещение – импликация
степень истинности р = мах (1 – 0.7; 0.4) = 0.4 или если р1 = 0,5, а р2 = 0.4,
то р = mах (1 – 0.5, 0.4) = 0.5.
5. Иванов и Петров - они равноценны
s1 
s2 - Эквиваленция
степень истинности р = мин( мах( 1 – р1, р2), мах (р1, 1 – р2)) = мин( мах (1-0.7, 0.4), мах(0.7, 1-0.4)) = мин(0.4, 0.7) = 0.4.
НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО
ФУНКЦИИ
ПРИНАДЛЕЖНОСТЕЙ
A = {<x, μA (x) >|x U}; μA – функция принадлежности, т.е. μA : U [0, 1] –
характеристическая функция множества A U.
Нечёткие множества и функции принадлежности категорий возраста.
м (u) |
ср (u) |
ст (u) |
1
Молодой Средний
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 u
(возраст)
Молодой = м (u) = 1/0 + 1/10 + 0,8/20 + 0,3/30. Средний = ср (u)= 0,5/30 + 1/40 +0,5/50.
Старый = ст (u) = 0,4/50 + 0,8/60 + 1/70 + 1/80 + 1/90.
НЕЧЕТКИЕ ВЫВОДЫ
Нечёткое правило: Если уровень воды (Х) высокий, то клапан (У) открыть. ЭКСПЕРТ: Высокий уровень воды - это примерно 2 метра.
НЕЧЁТКОЕ МНОЖЕСТВО: уровень воды /функция принадлежности/
Х: ВЫСОКИЙ = 0,1/1,5 м + 0,3/1,6 м +0,7/1,7 м + 0,8/1,8 м + 0,9/1,9 м + 1,0/2,0 м + + 1,0/2,1 м + 1,0/2,2 м
НЕЧЁТКОЕ МНОЖЕСТВО: угол поворота клапана /функция принадлежности/
У: ОТКРЫТЬ = 0,1/300 + 0,2/400 + 0,3/500 + 0,5/600 + 0,8/700 + 1,0/800 + 1,0/900
|
m(x) |
m(y) |
|
|
|
1,0 |
|
1,0 |
|
|
0,5 |
0,5 |
|
|
Х |
|
|
|
|
У |
0 |
1,5 |
2,0 |
0 |
30 |
60 |
90 |
град. |
Нечеткие выводы
Для четких множеств правило вывода modus ponens (латинское – правило заключения, способ, который утверждает, подтвердив) определяется следующим: если A и A→B — «истина», то B также «истина»:
Правило modus tollens — рассуждение от противного (латинское "modus tollendo tollens" - "путь исключения исключений") определяется следующим:
если А → В – «истина», а В – «ложь», то А – «ложь:
А → В, ¬ В ¬ А
Если суждения А, В, … - нечеткие, то правила вывода обобщаются и символьные изображения представляются в виде совокупности
продукционных правил. То есть лингвистическая модель правила modus ponens представляется в виде:
ЕСЛИ Х есть А, ТО У есть В,
где Х и У – лингвистические входные и выходные переменные, а А и В – конкретные лингвистические значения соответствующих входных и выходных переменных.