Строительная механика самолета МАТИ 2004

есть, очевидно, напряжение в волокне, если бы оно было изготовлено из материала с модулем упругости Е .

Условия для определения констант А, В, С можно получить из равенств (1.4)–(1.6). Подставив в них выражения (1.11) для нормального напряжения, будем иметь:

M x = A∫ ϕ xyδ ds + B ∫ ϕ ó2δ ds + C ∫ ϕ yδ ds,

M y = A∫ ϕ x 2δ ds + B ∫ ϕ xóδ ds + C ∫ ϕ xδ ds,

N z = A∫ ϕ xδ ds + B ∫ ϕ óδ ds + C ∫ ϕ δ ds.

l l l

Проанализируем полученные выражения. Используя зависимости (1.6) и (1.13), можно записать

N z = ∫ σδ ds = ∫ σ r ϕδ ds

откуда следует, что произведение ϕδl ds представляетl собой площадь сечения элемента, изготовленного из материала с модулем упругости Е и

σ ϕδ 0

работающего с напряжениями . Величину ds = dF будем называть

приведенной к модулю упругостиrЕ площадью элемента.r Тогда интеграл

0

∫ ϕδ ds = Fr ,

l

можно назвать приведенной к модулю Е площадью поперечного сечения.

0

Индексом r будем отмечать другие геометрические характеристики приведенного

41

сечения. Так, например, интегралы ∫ϕ yδ ds = Srx , ∫ ϕ xδ ds = Sry представляют

собой статические моменты, а ∫ ϕ y 2δ ds = I rx ,

l

∫ ϕ x 2 δ ds = I ry ,

l

∫ ϕ xy δ ds = I rxy – моменты инерции приведенного сечения относительно

l

îñåé Õ è Y.

Значения статических моментов и моментов инерции зависят как от геометрии поперечного сечения, так и от выбранной системы координат. Если начало координат совпадает с центром тяжести приведенного сечения,

Если все элементы конструкции изготовлены из одного материала, то редукционный коэффициент ϕ = 1, и мы приходим к известной формуле сопротивления материалов для нормальных напряжений при косом изгибе и растяжении бруса.

Приведенный метод определения нормальных напряжений называется

методом редукционных коэффициентов. Метод был предложен известным кораблестроителем Бубновым И.Г. Здесь нами рассмотрен простейший вариант метода Бубнова, когда материал конструкции подчиняется закону Гука.

По формуле (1.16) можно определить напряжения в тонкостенных конструкциях с разомкнутым, однозамкнутым и многозамкнутым контуром поперечного сечения.

42

Пример расчета нормальных напряжений в тонкостенной конструкции

Пусть требуется определить нормальные напряжения в тонкостенной конструкции швеллерного типа от действия изгибающего момента M (рис. 1,4). Точка O совпадает с центром тяжести поперечного

x

сечения, оси х и y являются главными центральными осями инерции из-за симметрии сечения. Так как конструкция изготовлена из одного материала, редукционный коэффициент (ϕ = 1).

Ðèñ. 1.4

Момент инерции можно представить в виде суммы моментов

Вычисления по формуле (1.16) приведут к эпюре напряжении, представленной на рис. 1.4.

Максимальные напряжения будут иметь место в точках контура со значением y = a/2. При M = 1·105 Íì, δ = 0,2 ñì, a = 50ñì, b =

20 см они станут равными σ x = 353 Ìïà.

max

43

1.4. Нормальные напряжения в тонкостенных конструкциях, подкрепленных продольным набором

Реальные авиационные конструкции имеют, как правило, продольные силовые элементы – лонжероны, стрингеры. Продольные элементы (пояса) занимают небольшой участок поперечного сече- ния. В связи с этим можно считать, что сечение представляет собой тонкостенный контур, в ряде точек которого расположены как бы некоторые сосредоточенные площади (рис. 1.6).

Чтобы поручить формулу для вычисления нормальных напряжений, необходимо повторить вывод, аналогичный изложенному в 1.2, учитывая, что напряжения в оболочке и в поясах (σ è σ . ñîîò-

i

ветственно) определяются в соответствии с плоским законом распределения деформация:

44

Подставляя зависимости (1.21) и (1.22) в равенства (1.18)–(1.20), придем к следующей окончательной формуле:

Полученная формула имеет такой же вид, как и для неподкрепленной конструкции.

При вычислении приведенной площади F и моментов инерции необходимо учитывать продольные элементы. r

Для конструкции на рис. 1.6, будем иметь:

F – площадь поперечного сечения элемента продольного набора, ni – число продольных элементов.

По мере уменьшения толщины обшивки доля изгибающего момента, воспринимаемого оболочкой, уменьшается. Чем мощнее пояса, тем большую часть изгибающего момента они могут воспринять.

В конструкции с очень тонкой обшивкой доля изгибающего момента, воспринимаемого ею, становится настолько незначительной, что можно работой обшивки пренебречь. Тогда при вычислении приведенных моментов инерции и площадей можно учитывать только площади сечений продольных поясов, т.е.

45

Ï.Расч¸т касательных напряжений

2.1.Касательные напряжения в тонкостенных конструкциях с открытым контуром поперечного сечения

Будем полагать, что поверхность оболочки свободна от касательных сил, действующих в направлении оси Z. Если бы такие силы действовали на поверхности, то, согласно принципу парности касательных напряжений, вектор касательного напряжения в сечении вблизи поверхности τ имел бы составляющую, нормальную к поверхности (рис. 2.1). z

Отсутствие на поверхности оболочки внешних нагрузок, параллельных оси Z, приводит к тому, что в поперечном сечении вблизи поверхности вектор касательного напряжения τ направлен по касательной к контуру сечения. Т.к. оболочка тонкая, то вектор касательного напряжения считают направленным по средней линии контура.

Пусть требуется определить касательные напряжения в точке b поперечного сечения конструкции, представленной на рис. 2.2. Для простоты рассуждений полагаем, что имеет место

только изгиб относительно оси Х. Тогда М ≠ 0, Q ≠ 0, M ≠ 0, Q = 0,

z Оси Х и Y здесь и в дальнейшем – главные центральные оси поперечного сечения, приведенного к одному материалу.

Ðèñ. 2.2

46

Проведем мысленно через точку b сечение, перпендикулярное оси Z, и еще одно по образующей перпендикулярно к срединной поверхности.

Третье сечение проведем на расстоянии dz от точки b. Рассмотрим равновесие элемента abcd, выделенного таким образом (рис. 2.3).

При изгибе конструкции в ее элементах возникают нормальные напряжения. Обозначим равнодействующую нормальных усилий в площадке ab поперечного сечения через N. В площадке cd равнодействующая нормальных усилий равна

(N + ∂∂N dz ), т.к. от сечения к сечении z

изгибающий момент меняется. Равновесие выделенного элемента возможно лишь в том случае, когда в продольном разрезе bd действуют касательные напряжения.

Как говорилось ранее, напряжения τ в тонкостенных конструкциях

можно считать постоянными по толщине. Это позволяет оперировать не напряжениями, а погонными усилиями Т = τδ , приходящимися на

единицу длины сечения.

Спроектируем все силы, действующие на элемент abcd, на ось

Для нормальных напряжении σ в случае изгиба относительно оси Х имеем:

47

Интеграл в последнем равенстве представляет собой статический момент относительно оси X части приведенного сечения, заключенной между свободным краем конструкции (точка a) и точкой b, где определяются касательные напряжения

Теперь остается согласно (2.2) продифференцировать правую часть

полученного равенства. При этом нужно иметь в виду, что I есть

rx

величина постоянная, S от координаты Z не зависит, а

rx

перерезывающаая сада Q связана с изгибающим моментом известной

Итак, получили формулу для определения величины погонной касательной силы Т в продольном разрезе, проходящем через точку b. В соответствии с принципом парности касательных напряжений, в точке b поперечного сечения будет действовать такая же погонная касательная сила.

Анализ формулы показывает, что вдоль оси Z погонные касательные силы изменяются пропорционально перерезывающей силе Q , а по сечению – пропорционально статическому моменту S .

y Для касательных напряжений будем иметь rx

48

Проведя аналогичный вывод для случая изгиба относительно оси Y, получим следующую формулу:

При одновременном изгибе относительно осей Х и Y результаты, полученные по формулам (2.8) и (2.10), нужно алгебраически просуммировать.

Если конструкция не имеет продольных элементов, то эпюра статических моментов S , вычисленных по (2.6), будет плавной, без

rx

скачков. Ординаты эпюры статического момента будут возрастать до нейтральной оси X (рис. 2.4а).

Ðèñ. 2.4

Если же оболочка подкреплена продольным набором, то статический момент будет определять формула

где m – число продольных элементов на участке дуги длиной от начала координат.

При этом эпюра S будет иметь вид (2.4 б).

пренебрегают и считают, что обшивка работает только на сдвиг.

49

При этом на эпюре статических моментов на участках между соседними поясами

Рис. 2.5 значения статического момента остаются постоянными (рис. 2.5).

2.2. Примеры расчета касательных напряжений в тонкостенных конструкциях с открытым контуром поперечного сечения

Пример 1. Определим погонные касательные усилия в тонкостенной конструкции швеллерного типа от действия перерезывающей силы Q . Размеры сечения и нагрузка показаны на рис. 1.4.

y

Момент инерции поперечного сечения был найден в 1.3 и получился равным

Для определения касательных напряжений найдем статический момент для сечения т – т верхней полка на расстоянии s от свободного края сечения

50