§ 2. Понятие формулы логики предикатов. Равносильные формулы логики предикатов

В логике предикатов используется следующая сим­волика:

1. Символы р, q, r, ... — переменные высказывания, принимающие два значения: 1 — истина, 0 — ложь.

2. Предметные переменные - х, у, z.....которые про­бегают значения из некоторого множества М: х°, у° , z° , ... - предметные константы, то есть значения пред­метных переменных;

3. Р( · ), f( · ) - одноместные предикатные перемен­ные; Q(·,·,...,·), R(·,·,...,·) - n-местные предикатные пе­ременные. Р°( · ), Q°(·,·,...,·) - символы постоянных предикатов.

4. Символы логических операций:

5. Символы кванторных операций: .

6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.

Определение 1. (формулы логики предикатов).

1. Каждое высказывание как переменное, так и по­стоянное, является формулой.

2.Если F(·,·,...,·) - n-местная предикатная перемен­ная или постоянный предикат, a x_1t x₂, ..., х_n - предмет­ные переменные или предметные постоянные, не обяза­тельно все различные, то F(x_1, x₂, ..., х_n) есть формула. В этой формуле предметные переменные являются свобод­ными. Формулы вида 1 и 2 называются элементарными.

3.Если А и В - формулы, причем такие, что одна и та же предметная переменная не является в одной из них свя­занной, а в другой свободной, то A v В , А& В, А→ В есть формулы. В этих формулах те переменные, которые в ис­ходных формулах были свободными, являются свободны­ми, а те, которые были связанными, являются связанными.

4.Если А - формула, то А - формула, и характер предметных переменных при переходе от формулы А к формуле А не меняется.

5. Если -А(x) - формула, в которую предметная пере­менная х входит свободно, то слова Vх А(х) и А(х) являются формулами, причем предметная переменная в них входит связанно.

6. Никакая другая строка символов формулой не является.

Пример 1. Какие из следующих выражений явля­ются формулами логики предикатов? В каждой форму­ле выделите свободные и связанные переменные.

1) ;

2);

3) ;

4);

5);

6).

Решение. Выражения 1), 2), 4), 6) являются форму­лами, так как записаны в соответствии с определением формулы логики предикатов. Выражения 3) и 5) не яв­ляются формулами. В выражении 3) операция конъюн­кция применена к формулам Р(х) и ; в первой из них переменнаях свободна, а во второй связана кванто­ром общности, что противоречит определению форму­лы. В выражении 5) квантор существования по перемен­ной у навешен на формулу , в которой перемен­наяу связана квантором общности, что также противо­речит определению формулы.

В формуле 1) переменная у свободна, а переменные х и z связаны. В формуле 2) нет предметных переменных. В формуле 4) переменная х связана, а переменная у сво­бодна.

О логическом значении формулы логики предикатов можно говорить лишь тогда, когда задано множество М, на котором определены входящие в эту формулу предикаты. Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значения трех видов переменных, входящих в формулу:

а) переменных высказываний;

б) свободных предметных переменных из множества М;

в) предикатных переменных.

При конкретных значениях этих переменных фор­мула принимает конкретное логическое значение.

Пример 2. Дана формула , где предикаты Р(х), Q(х) и R(х) определены на множестве N. Найти ее значение, если

1) Р(х): «число х делится на 3», Q(x): «число х де­лится на 4», R(x): «число х делится на 2»;

2) Р(х):. «число х делится на 3», Q(x): «число х де­лится на 4», R(x): «число х делится на 5».

Решение. В обоих случаях конъюнкция Р(х) & Q(х) есть утверждение, что число х делится на 12. Но тогда при всех х, если число х делится на 12, то оно делится и на 2, и, значит, в случае 1) формула истинна.

Так как из делимости числа х на 12 не при всех х сле­дует делимость числа х на 5, то в случае 2) формула ложна.

Пример 3. Вычислить значение формулы

, если предикат Р(х,у) имеет значение Р°(х,у) — «число х меньше числа у» и определен на множестве .

Решение. Так как при указанном значении предика­та Р(х,у) высказывание означает утвержде­ние, что для любого натурального числа х найдется нату­ральное число у, большее числа х, то это высказывание истинно. В то же время высказывание оз­начает утверждение, что существует натуральное число х, которое меньше любого натурального числа у. которое ложно. При этом исходная формула, очевидно, ложна.

Определение 2. Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными на области М, если они принимают одинаковые значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М.

Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными, если они равносильны на всякой области.

Здесь, как и в алгебре высказываний, для равносиль­ных формул принято обозначение А ≡ В .

Ясно, что все равносильности алгебры высказыва­ний будут верны, если в них вместо переменных выска­зываний подставить формулы логики предикатов. Но, кроме того, имеют место равносильности самой логики предикатов. Сюда, в первую очередь, следует отнести равносильности:

, .

Они широко используются в логике предикатов при равносильных преобразованиях, если приходится иметь дело с выражениями, содержащими операцию отрицания.

Пример 4. Найти отрицание следующих формул:

1) ;

2) ;

3).

Решение.

1) ;

2)

3) ;

Доказательство равносильностей логики предикатов требует или детального рассмотрения значений формул или использования известных равносильностей.

Пример 5. Доказать равносильность

.

Решение. Для доказательства равносильности дос­таточно рассмотреть два случая:

1. Пусть предикаты А(х) и в(х) тождественно лож­ны. Тогда будет тождественно ложным и предикат . При этом будут ложными высказывания и.

2. Пусть теперь хотя бы один из предикатов (напри­мер, А(x)) не тождественно ложный. Тогда будет не тож­дественно ложным и предикат A(x) v B(x) . При этом бу­дут истинными высказывания и , а, значит, будут истинными в исходные формулы.

Следовательно, .

Пример 6. Доказать равносильность

.

Решение. Рассмотрим два случая:

1. Пусть высказывание с ложно. Тогда для любого предиката А(х) будет тождественно ложным высказы­вание и предикатc& А(х) , и , следовательно, высказывание . Значит, в этом случае обе исходные формулы тождественно ложны.

2. Пусть теперь высказывание с истинно. Тогда, оче­видно, значения исходных формул будут целиком зави­сеть от значений предиката А(х). Если А(х) - тожде­ственно истинный предикат, то будет тождественно ис­тинным и предикат с& А(х), и, следовательно, будут тож­дественно истинными высказывания ,,, то есть тождественно истинны исходные формулы. Если же предикат А(х) не тождественно ис­тинный, тогда будет не тождественно истинным преди­кат с&А(х), а высказывания ,,будут ложными, то есть ложные значения принимают обе исходные формулы, что в итоге доказы­вает их равносильность.

3.13. Укажите, какие из следующих выражений являются формулами логики предикатов. В каждой формуле выделите свободные и связанные переменные:

1);

2) ;

3);

4);

5);

6) .

3.14. Даны утверждения А(n): «число n делится на 3», В(п): «число n делится на 2», С(n): «число п делит­ся па 4», D(n) «число n делится на 6», Е(п): «число n делится на 12». Укажите, какие из следующих утверж­дений истинны, какие ложны:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5);

3.15. Пусть предикат Р(х,у) определен на множе­стве М = N × N и означает « х < у ».

1) Какие из следующих предикатов тождественно истинные и какие тождественно ложные:

2) Для тех предикатов из 1), которые не являются ни тождественно истинными, ни тождественно ложны­ми, указать область истинности и область ложности.

3. Какие из следующих предложений истинны и какие ложны:

3.16. Показать, что кванторы общности и существо­вания не перестановочны, то есть высказывания и могут, вообще говоря, иметь различные значения.

3.17. Среди следующих пар предикатов выберите те, в которых предикаты являются отрицаниями друг друга:

1. «а < b» и «b < а »;

1. «Треугольник ABC прямоугольный» и «Треуголь­ник ABC тупоугольный»;

3) «Целое число k четно» и «Целое число k нечетно»; 4) «Функция f нечетна» и «Функция f четна»;

5) «Натуральное число n - простое» и «Натуральное число n - составное.»

3.18. Доказать следующие равносильности:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

3.19. Найти отрицания следующих формул:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

3.20. Пусть предикат А(х) и В(х) - любые предикаты. Kакие из следующих формул равносильны формуле (*)?

3.21. Доказать, что для любой формулы логики предикатов можно построить ей равносильную формулу, не содержащую:

1) кванторов существования;

2) кванторов общности.

3.22. Доказать, что формулы ине равносильны.

3.23. Доказать, что формулы ине равносильны.

3.24. Доказать, что

1)

2) то же с заменой & на v;

3) можно ли в 1) и 2) заменить F(x) и G(y)двухместными предикатами, зависящими от x и y?

3.25. Пусть А(х) и В(х) два одноместных предиката, определенных на множестве М таких, что высказывание истинно. Доказать, что высказываниеложно.

3.26. Даны два предиката Q(х,у) и R(y,z), опреде­ленные на множестве М × М , где М = {а, b, с} . Для сле­дующих предложений записать их выражения без использования кванторных операций:

3.27. Каким условиям будут удовлетворять области истинности предикатов А(х) и В(х), определенных на множестве М, если истинны высказывания: