Глава III логика предикатов
§ 1.Понятия предиката. Логические и кванторные операции над предикатами.
Определение 1. Одноместным предикатом Р(х)называется всякая функция одного переменного, а которой аргументхпробегает значение из некоторого множества М, а функция при этом одно их двух значений; истина или ложь.
Множество М, на котором задан предикат, называется областью определения предиката.
Множество I
М,
на котором предикат принимает только
истинные значения, называется областью
истинности предиката Р(х).
Предикат Р(х) называется тождественным
истинным( тождественно ложным) на
множестве М, еслиI
=М
(I
=
).
Определение 2. n-
местным предикатом называется
всякая функцияn
переменныхQ(
),
определенная на множестве М= М
х
М
х…х
М
и принимающая на этом множестве одно
из двух значений: истина или ложь.
Как и для одноместных предикатов, для n- местных предикатов можно определить область истинности, понятие тождественно истинного и тождественно ложного предиката.
Говорят, что предикат Р(х) является
следствием предиката Q(х) (Q(х)
Р(х)), еслиI
I
:
и предиката Р(х) иQ(х)равносильны(Q(х)
Р(х)), еслиI
I
.
Пример 1.Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого их них указать область истинности, еслиМ=Rдля одноместных предикатов иМ= R x Rдля двухместных предикатов:
х +5=1;
при х = 2 выполняется равенствох
-1=0;х
-2+1=0;существует такое число х , что х
-2х+1=0;х + 2 < Зх - 4;
однозначное число х кратно 3;
(х+ 2)-(3х - 4);
Решение.
1) предложение является одноместным предикатом Р(х), IР = {-4};
2) предложение не является предикатом. Это ложное высказывание;
3) предложение является одноместным предикатом Р(х), IР = {1};
4) предложение не является предикатом. Это истинное высказывание;
5) предложение является одноместным
предикатом Р(х) , IР = (3;+
;
6) предложение является одноместным предикатом Р(х), IР = {0;3;6;9};
7) предложение не является предикатом;
8) предложение является двухместным
предикатом Q(x,y),
=RxR\{(0,0)}.
Пример 2. Выяснить, какие из следующих предикатов являются тождественно истинными:
1)
;
2)
;
3) sin2x+cos2x=l;
4)
5)
Решение. Очевидно, предикаты 1), 3), 4) являются тождественно истинными. В предикате 2) при х=0,y=0 неравенство нарушается, а в предикате 5) неравенство нарушается при всех положительных значенияхx. Следовательно, предикаты 2) и 5) не тождественно истинны.
Так как предикаты могут принимать два значения 1 и 0, то к ним применимы все операции алгебры высказываний.
Например,
конъюнкцией двух предикатов Р(х)
и
Q(x)
называется
новый предикат
,
который
принимает значение 1 при тех и только
тех значениях
x
,
при которых каждый из предикатов Р(х)и
Q(x)
принимает
значение 1
и
принимает значение 0 во всех остальных
случаях. Очевидно, что
.
Аналогично
определяются операции дизъюнкция,
импликация, эквивалентность двух
предикатов и отрицание предиката.
Легко видеть, что
,
,
.
Ясно, что при выполнении логических операций над предикатами к ним применимы и равносильности алгебры логики.
Пример 3. Пусть даны предикаты: Р(х): «х - четное число» и Q(x): « x кратно 3», определенные на множестве N. Найти области истинности предикатов:
1)
;
2)
;
3)
P(x);
4)
.
Решение. Так как
,
,то
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Сказанное позволяет находить области истинности более сложных предикатов, полученных в результате применения к исходным предикатам логических операций.
Пример
4.
Пусть даны предикаты А(х,у)
и
В(х,у),
определенные
на множестве
. Найти множество истинности предиката
и
изобразить ее с помощью кругов
Эйлера-Венна.
Решение.
Так как
=
,
то
.
изображена
заштрихованной частью рисунка.
Можно рассматривать и обратную задачу: Зная область истинности предиката, полученного в результате применения логических операций к некоторым предикатам, записать этот предикат.
Пример
5.
Записать предикат, полученный в
результате логических операций над
предикатами Р(х),
Q(x)
и
,
область истинности которого I
заштрихована
на рисунке.
Решение.
Так как здесь
,
то искомый предикат имеет вид
.
Пусть
имеется предикат Р(х),
определенный на множестве М.
Если
,
то
подстановка а
вместо
х
в
предикат Р(х)
превращает
этот предикат в высказывание Р(a).
Такое
высказывание называется единичным.
Наряду
с образованием из предикатов единичных
высказываний в логике предикатов
рассматривается еще две операции,
которые превращают одноместный предикат
в высказывание.
Определение
3.
Пусть Р(х) - предикат, определенный
на множестве М.
Под
выражением
понимают
высказывание, истинное, когда Р(х)
тождественно
истинный на множестве М
предикат
и ложное в противном случае. Это
высказывание уже не зависит от х.
Соответствующее
ему словесное выражение будет «Для
всякого х
Р(х)
истинно». Символ
насыпаютквантором
всеобщности. Переменную
х
в
предикате Р(х)
называют свободной (ей можно придавать
различные значения из M),
в высказывании
переменнуюx
называют
связанной квантором V.
Определение
4.
Пусть P(х)
- предикат, определенный на множестве
М.
Под
выражением
понимают высказывание, которое
является истинным, если существует хотя
бы один элемент
, для
которого Р(х)
истинно,
и ложным в противном случае. Это
высказывание уже не зависит от х.
Соответствующее
ему словесное выражение будет: «Существует
х,
при
котором Р(х)
истинно».
Символ
называюткванторам
существования. В
высказывании
переменная
х
связана
квантором 3,
Пример
6.
Даны предикаты
и
,
определенные на множествеR.
Требуется установить, какие из
следующих высказывании истинны и какие
ложны:
1)
;
2)
;3)
;4)
.
Решение.
Так как
при всех
х,,
то
будут истинны высказывания
и
. Так как уравнение
имеет только два действительных корнях1
= 3
и х2
= 1,
то предикат Q(x)
принимает
значение 1 только при х
= 3 и х
= 1
и О в остальных случаях. Но тогда
высказывание
ложно, а высказывание
истинно.
Нетрудно
видеть, что когда предикат
определен
на конечном множестве
,
то
,
а
,
то есть кванторные операции обобщают операции конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.
Кванторные
операции применяются и к многоместным
предикатам. Так, применение к двухместному
предикату Q(x,y)
квантора
всеобщности по переменной х
дает
одноместный предикат
зависящий
от у.
К
этому предикату можно применить
кванторную операцию по переменной
у.
В
результате получим или высказывание
или
высказывание
.
Таким
образом, может быть получено одно из
восьми высказываний:
,
,
,
,
,
,
x
yQ(x,y),
.
Легко показать, что перестановка любых кванторов местами, вообще говоря, изменяет логическое значение высказывания.
Пример
7.
Пусть предикат Q(x,y):
«x:y
»
определен на множестве
.
Показать, что высказывания
и
имеют
различные логические значения.
Решение.
Так как высказывание
означает,
что для всякого натурального числа у
существует
натуральное число х
такое, что у
является
делителем х,
то это высказывание истинно.
Высказывание
означает,
что есть натуральное число х,
которое делится на любое натуральное
число у.
Это
высказывание, очевидно, ложно.
3.1. Среди следующих предложений выделите предикаты, для каждого из предикатов укажите одну из возможных областей определения и в соответствии с ней область истинности:
1) Луна есть спутник Венеры;
2) Планеты х и у принадлежат Солнечной системе;
3)
;
4)
5)
;
6) Любое простое число р не имеет делителей, отличных от себя и 1;
7) Натуральное число п не меньше 1;
8) Треугольник ABC равен треугольнику A 1 B1 C1
9)
;
10)
;
11)
.
3.2.
Даны предикаты Р(х)
:
«
»
иQ(x):
«
».
Найдите области истинности этих
предикатов, если их область определения
есть: 1)R;
2) N.
3.3. На
множестве
заданы два предикатаР(х):
«х - простое
число», Q(x):
«x
-
нечетное число». Составьте их таблицы
истинности. Равносильны ли предикаты
Р(х)
и
Q(x)
на
множестве
,
?
3.4. Будут ли следующие предикаты равносильны или один из них является следствием другого? (Предметные переменные в предикатах принадлежат R).
1)
и
;
2)
и
;
3)
и
;
4)
и
y
= x
;
5)
и
;
6)
x
+ y
= z
и
;
7) х3
+ у3
=
0 и
3.5. Найти области истинности предикатов:
1)
;
2)
3)
4)
3.6. Изобразите на декартовой плоскости области истинности предикатов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
б)
6)
.
3.7. На множестве М = {1,2,3,...,20} заданы предикаты:
А(х): «х не делится на 5»;
В(х): «х - четное число»;
С(х): «х - число простое»;
D(x): «х кратно 3».
Найдите множества истинности следующих предикатов:
1) A(x)& B(x) ; 2) C(x)& B(x);
3) C(x)& D(x) ; 4) B(x)& D(x);
5)
(x)&
D(x)
; 6) A(x)&
(x);
7)
(x)&
(x)
; 8)
A(x)&
B(x)& D(x) ;,
9) A(x) V B(x) ; 10) B(x) V C(x) ;
11) C(x) V D(x) ; 12) B(x) V D(x) ;
13)
(x)
V D(x)
; 14) B
(x)
v
(x)
;
15) A(x) V B(x) V D(x) ; 16) C(x) → А(x);
17)
D(x)
→
(x)
;
18) A(x) → B(x);
19)
(A(x)&
C(x))
→
(x)
;
20) (A(x)&D(x))
→
(x).
3.8. Изобразите на диаграммах Эйлера-Венна области истинности для следующих предикатов:
1)
(х)&
(х);
2)
(х)
↔
(х);
3)
(Р(х)
→
Q(x))
v
R(x)&
(х);
4) P(x)
→
(Q(x)
v
(x))
;
5)
Р(х)&Q(х)
→
(x)
.
3.9. Изобразите на координатной плоскости области истинности предикатов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
3.10.
Записать предикаты, полученные в
результате логических операций над
предикатами Р(х),
Q(x)
и
,
области истинности которых
заштрихованы
на следующих рисунках:
3.11. Установить, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны, при условии, что область определения предикатов М совпадает с R:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
3.12.
Приведите примеры таких значений а,
для
которых данное высказывание: а) истинно;
б) ложно.
.
1)
;
2)
.
3)
;
4)
.