§ 3.Функции алгебры логики. Совершённые нормальные формы.

Определение 1. Функцией алгебры логики n переменных называется любая функция n переменных , аргументы которой принимают два значения 1 и 0, и сама функция принимает одно из двух значений: 1 или 0.

Всякая формула алгебры логики есть функция алгебры логики. Тождественно истинная и то тождественно ложная формулы есть постоянные функции.

Можно показать, что всякую функцию алгебры логики можно представить в виде формулы логики, и это представление таково:

(*)

Формулу (*) можно преобразовать к формуле, которая содержит только элементарные переменные высказывания и обладает следующими свойствами совершенства (или свойствами (С)):

1) каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию ;

2) все логические слагаемые формулы различны;

3) ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную и её отрицание;

4) ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

С помощью таблицы истинности, определяющей функцию , легко получить соответствующую формулу алгебры логики, обладающего свойствами (С). Действительно, для каждого набора значений переменных на котором функция принимает значение 1, запишем конъюнкцию элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции, если значениена указанном наборе значений переменных есть 1, и отрицание, если значениеесть 0. дизъюнкция всех полученных таким образом конъюнкции и будет искомой формулой.

Определение 2. Элементарной конъюнкцией n переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.

Определение 3. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы A называется равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкции.

Определение 4. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы A называется ДНФ A, обладающая свойствами (С).

СДНФ A можно получить двумя способами: а) с помощью таблицы истинности (см. выше); б) с помощью равносильных преобразований.

Правило получения СДНФ из формулы A с помощью равносильных преобразований.

1. Для формулы A получаем любую ДНФ.

2. Из ДНФ A путём равносильных преобразований получаем СДНФ, последовательно добиваясь выполнения четырёх свойств СДНФ:

1) Пусть B есть слагаемое ДНФ, не содержащее . Тогда надо заметить слагаемоеB в ДНФ A на слагаемое .

2) Если в ДНФ A встретится два не одинаковых слагаемых , то лишнее нужно отбросить, так как.

3) Если в некоторое слагаемое B в ДНФ A переменная входит дважды, то лишнюю переменную надо отбросить, так как.

4) Если слагаемое B в ДНФ A содержит конъюнкцию , то лишнюю переменную надо отбросить, так как, и следовательно,, а ложное высказывание из дизъюнкции можно выбросить (в силу равносильности).

Определение 5. Элементарной дизъюнкцией n переменных называется дизъюнкция переменных или их отрицаний.

Определение 6. Конъюнкция нормальной формой (КНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.

Определение 7. Совершенной конъюнктивной нормальной формой формулы А (СКНФ А), называется КНФ А, удовлетворяющая четырем свойствам:

1) все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ А, содержат все переменные;

2) все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ А, различны;

3) каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А, содержит переменную один раз;

4) ни одна элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А, не содержит переменную и её отрицание.

СКНФ А можно получить двумя способами: а) с помощью таблицы истинности (используя закон двойственности , получаем с помощью таблицы истинности, и, взяв отрицание , получаем СКНФА); б) с помощью равносильных преобразований.

Правило получения СКНФ из формулы А с помощью равносильных преобразований.

1. Для формулы А получаем любую КНФ.

2. Из КНФ А путём равносильных преобразований получаем СКНФ А, последовательно добиваясь выполнения четырёх свойств СКНФ.

1) Если элементарная дизъюнкция В, входящая в КНФ А, не содержит переменную , тогда заменяемВ на .

2) Если в некоторую элементарную дизъюнкцию В переменная , входит дважды, то лишнюю переменную нужно отбросить, так как.

3) Если КНФ А содержит две одинаковых элементарных дизъюнкции, то одну можно отбросить, так как .

4) Если в элементарную дизъюнкцию входит пара , то её можно отбросить, так как, а истинное высказывание из конъюнкции можно выбросить (в силу равносильности).

Пример 1. Найти формулу, определяющую функцию Ф(x,y,z), по заданной таблице истинности:

x	y	z	Ф(x,y,z)
1	1	1	1
1	1	0	0
1	0	1	0
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	0	1
0	0	1	1
0	0	0	1

Решение. Используя правило получения формулы алгебры логики из таблицы истинности для функции Ф(x,y,z), получим:

.

Упростив эту формулу, получим:

Таким образом, искомой формулой, определяющей функцию Ф(x,y,z), можно считать , или, или какую-нибудь другого из равносильных формул.

Пример 2. Следующую формулу привести к СДНФ, предварительно приведя её равносильными преобразованиями к ДНФ: .

Решение.

Ответ: .

Пример 3. Для формулы из примера 2 найти СДНФ путём составления таблицы истинности.

Решение. Составим таблицу истинности для формулы .

a	b	C	bc	ab		A
1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	1	1
1	0	0	0	0	1	1
0	1	1	1	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	1	0
0	0	0	0	0	1	0

Тогда .

Пример 4. Для формулы из примера 2 найти СКНФ путём равносильных преобразований, предварительно приведя ее к КНФ.

Решение. Из примера 2: .Далее

.

Ответ: .

Пример 5. Для формулы из примера 2 найти СКНФ, записав предварительно ДНФ её отрицание, а потом воспользовавшись формулой двойственности.

Решение. .

Все формулы алгебры логики делятся на три класса: 1) тождественно истинные; 2) тождественно ложные; 3) выполнимые.

Формулу А называют выполнимой, если она принимает значение 1 хотя бы на одном наборе значений входящих в неё переменных и не является тождественно истиной.

Теореме. Для того, чтобы формула алгебры логики была тождественно истинна (ложна), необходимо и достаточно любая элементарная дизъюнкция (конъюнкция), входящая в КНФ А (ДНФ А), содержала переменную и её отрицание.

Пример 6. Будет ли формула тождественно истинной, тождественно ложной или выполнимой?

Решение. Приведём пример к какой-либо нормальной форме:

Получение ДНФ не является тождественно ложной, так как каждая элементарная конъюнкция не содержит переменную и её отрицание. Следовательно, исходная формула тождественно истинна или выполнима. Преобразуем данную формулу к КНФ.

Это произведение не является тождественно истинным, так как элементарная сумма не тождественно истинна, следовательно, она выполнима.

1.34. По таблице истинности найдите формулы, определяющие функции ,,,, и придайте им более простой вид:

x	y	z
1	1	1	0	1	1	1
1	1	0	1	1	1	0
1	0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	0	1	1	0
0	0	1	1	0	1	1
0	0	0	0	0	0	0

1.35. Пусть - булевая функция, которая принимает значение 1 тогда и только тогда, когда точно одна из переменных принимает значение 1. Составьте таблицу для функциии выразите эту функцию через основные логические операции.

1.36. Назовём функцией большинства булеву функцию от трёх переменных, значения которой принимает большинство переменных.

а) Составьте таблицу, определяющую функцию большинства и выразите эту функцию через основные операции.

б) Упростите выражение .

1.37. Булева функции называется двойственной по отношению к булевой функции, если

.

Для каждой булевой функции от двух переменных найдите двойственную ей булеву функцию.

1.38. Булева функции называется:

а) сохраняющей 0, если ;

б) сохраняющей 1, если .

Среди булевых функции от одной и двух переменных найти все функции, сохраняющие 1, и все функции, сохраняющие 0.

1.39. Для следующих формул найти СДНФ и СКНФ, каждую двумя способами (путём равносильности преобразований и используя таблицы истинности):

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

1.40. Найдите СДНФ для всякой тождественно истинной формулы, содержащей: 1) одно переменное, 2) два переменных, 3) три переменных.

1.41. Найдите СКНФ для всякой тождественно истинной формулы, содержащей: 1) одно переменное, 2) два переменных, 3) три переменных.

1.42. Докажите равносильность формул и сравнением их совершенно нормальных форм (конъюктивных или дизъюктивных).

1.43. Найдите более простой вид формул, имеющих следующие совершенные нормальные формы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ).

1.44. Используя критерий тождественной истиннос­ти и тождественной ложности формулы, установить бу­дет ли данная формула тождественно истинной, тожде­ственно ложной или выполнимой:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .