Л. Петросян Теория игр

Пример 3. (Дискретная игра типа дуэли.) Игроки продвигаются навстречу друг другу на п шагов. После каждого сделанного шага игрок может выстрелить или нет, но во время игры он может выстрелить только один раз. Считается, что вероятность того, что игрок попадает в своего противника, если выстрелит, продвинув­ шись на k шагов, равна fc/n (к^п).

Стратегия игрока 1(2) заключается в принятии решения стрелять на 1-м (/-м) шаге. Пусть i<j и игрок 1 принимает решение стрелять на /-м шаге, а игрок 2 — на у-м шаге. Тогда выигрыш atJ игрока

1 определяется формулой

» Л Л J n(i-j)+ij

Таким образом, выигрыш а^ — это разность вероятностей пораже­ ния противника и собственной гибели в дуэли. В случае i>j первым стреляет игрок 2 и <ху= — <xit. Если же i=j, то полагаем ау =0. Так,

если положить п=5, то матрица этой игры, умноженная на 25, имеет вид

Пример 4. (Игра «нападение — защита».) Пусть игрок 1 намерен атаковать один из объектов с1, .... с„, которые имеют положитель­ ные ценности тх >0,..., т„>0. Игрок 2 защищает один из этих объек­ тов. Будем считать, что если атакован незащищенный объект с,, то он с достоверностью уничтожается (игрок 1 выигрывает т,), а защи­ щенный — поражается с вероятностью 1 >j8/>0 (объект с( выдержи­ вает нападение с вероятностью 1 — /J/>0), т. е. игрок 1 выигрывает (в

среднем) f}txit i= l, 2, ..., и.

Тогда задача выбора объекта нападения (для игрока 1) и объекта защиты (для игрока 2) сводится к матричной игре с матрицей выигрышей

'РхЧ

0Л

А =

• • Д л

12

Пример 5. (Игра дискретного поиска.) Имеется и ячеек. Игрок

2 прячет предмет в одной из п ячеек, а игрок 1 хочет его найти. При проверке г'-й ячейки игрок 1 тратит т,>0 усилий, при этом вероят­ ность найти предмет в г'-й ячейке (если там он спрятан) равна 0<Д<1, г=1, 2, ..., п. Если предмет найден, то игрок 1 получает доход а. Стратегиями игроков являются номера ячеек, в которых игроки соответственно прячут и ищут предмет. Выигрыш игрока 1 равен разности между ожидаемым доходом и усилиями, затрачен­ ными на поиск предмета. Таким образом, задача поиска и прятания предмета сводится к матричной игре с матрицей выигрышей

•otft-т, - т , - т .

<*Pi-ii -Ч

А =

-т„... а.Рп—4

Пример 6. (Поиск «шумного» объекта.) Предположим, что игрок

1 ведет поиск подвижного объекта (игрок 2) с целью его обнаруже­ ния. Игрок 2 преследует противоположную цель (т. е. стремится уклониться от обнаружения). Игрок 1 может двигаться со скоростя­ ми а, = 1, а,—2, аъ = Ъ, а игрок 2 — соответственно со скоростями Р1 = 1, Р2 = Х /}3 = 3. Дальность действия средства обнаружения иг­ рока 1 в зависимости от скоростей движения участников игры приведена в матрице

Pi Рг Рг

aj |~4 5 6~|

Z>=aJ 3 4 5 a3Ll 2 3J

Стратегиями игроков являются скорости движения, а в качестве выигрыша игрока 1 в ситуации (а,, Д) примем производительность поиска ^=0.^, i = l, 3,у=1, 3, где 8Ц — элемент матрицы D. Тогда

задача выбора скоростей игроков при поиске — уклонении может быть представлена матричной игрой с матрицей

13

§2. МАКСИМИННЫЕ И МИНИМАКСНЫЕ СТРАТЕГИИ

2.1.Рассмотрим антагонистическую игру Г=(Х, Y, К). Здесь каждый из игроков выбором стратегии стремится максимизировать свой выигрыш. Но для игрока 1 он определяется функцией К(х, у),

адля второго — (—К(х, у)), т. е. цели игроков прямо противополо­ жны. При этом заметим, что выигрыш игрока 1(2) определен на ситуациях (х, y)eXY, складывающихся в процессе игры. Но каж­ дая ситуация, а следовательно, и выигрыш игрока зависят не только от его выбора, но и от того, какая стратегия будет выбрана против­ ником. Поэтому, стремясь получить возможно больший выигрыш, каждый игрок должен учитывать поведение противника.

Поясним сказанное на примере игры «оборона города». Если игрок 1 хочет получить максимальный выигрыш, то он должен принять стратегию х0 (или х4 ). В этом случае, если игрок 2 приме­ нит стратегию у0(у3), то первый получит выигрыш, равный 4 еди­ ницам. Но если игрок 2 применит стратегию уг (соответственно у0), то игрок 1 получит выигрыш, равный 0, т. е. потеряет 4 единицы. Аналогичные рассуждения можно провести и для игрока 2.

В теории игр предполагается, что оба игрока действуют ра­ зумно, т. е. стремятся к получению максимального выигрыша, считая, что соперник действует наилучшим (для себя) образом. Что может себе гарантировать игрок 7? Пусть игрок 1 выбрал стратегию х. Тогда в худшем случае он выиграет min K(x, у).

Поэтому игрок 1 всегда может гарантировать себе выигрыш max min К(х, у). Если отказаться от предположения достижимости

*у

экстремума, то игрок 1 может всегда получить выигрыш, сколь угодно близкий к величине

- хеХ yeY

которую будем называть нижним значением игры. Если же внешний экстремум в (2.1) достигается, то величина v называется также максимином, принцип построения стратегии х, основанный на мак­ симизации минимального выигрыша,— принципом максимина, а вы­ бираемая в соответствии с этим принципом стратегия х — максиминной стратегией игрока 1.

Для игрока 2 можно провести аналогичные рассуждения. Пусть он выбрал стратегию у. Тогда в худшем случае он проиграет max K(x, у). Поэтому второй игрок всегда может себе гарантиро-

X

вать проигрыш — min max K(x, у). Число

yeY xeX

14

называется верхним значением игры Г, а в случае достижения вне­ шнего экстремума в (2.2) и минимаксом. При этом принцип постро­ ения стратегии у, основанный на минимизации максимальных по­ терь, называется принципом минимакса, а выбираемая в соответст­ вии с этим принципом стратегия у — минимаксной стратегией иг­ рока 2. Подчеркнем, что существование минимаксной (максиминной) стратегии определяется достижимостью внешнего экстремума в (2.2) ((2.1)).

Минимакс и максимин для игры Г^ могут быть найдены по следу­ ющей схеме:

р 0 4~

А =h 3 8

L6 0 1_

нижнее значение (максимин) v и максиминная стратегия i0 первого игрока равны i> = 3, /0=2, а верхнее значение (минимакс) v и мини­ максная стратегия у0 второго игрока — V = 3,j0 = 2.

2.2. Для любой игры Г=(Х, Y, К) справедливо следующее утверждение.

Лемма. В антагонистической игре Г

или

15

Доказательство. Пусть xeX— произвольная стратегия игро­ ка ). Тогда имеем

К(х, у) <sup K(x, у).

хеХ

Отсюда получаем

inf K(x, у) <inf sup K(x, у).

Теперь заметим, что в правой части последнего неравенства стоит константа, а значение хеХ выбиралось произвольно. Поэтому вы­ полняется неравенство

sup inf К(х, у) < inf sup K(x, у).

§3. СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ

3.1.Рассмотрим вопрос об оптимальном поведении игроков

вантагонистической игре. Естественно считать оптимальной в игре Г= (X, Y, К) такую ситуацию (х*, у*) еХ- Y, от которой ни одному из игроков невыгодно отклоняться. Такая ситуация (JC*. у*) называ­ ется равновесной, а принцип оптимальности, основанный на постро­ ении равновесной ситуации,— принципом равновесия. Для антагони­ стических игр, как это будет показано ниже, принцип равновесия эквивалентен принципам минимакса и максимина. Конечно, для этого необходимо существование равновесия (т. е. чтобы принцип оптимальности был реализуем).

Определение. В антагонистической игре Г=(Х, Y, К) ситуация (х*, у*) называется ситуацией равновесия или седловой точкой, если

для всех хеХ и ye Y.

Множество всех ситуаций равновесия в игре Г обозначим через

Z(r),Z(r)cXY.

Для матричной игры Г^ речь идет о седловых точках матрицы выигрышей А, т. е. таких точках (/*, /*), что для всех ieM ujeN выполняются неравенства

а,/ < а^^оц*/.

16

В седловой точке элемент матрицы а,.^ является одновременно

минимумом в своей строке и максимумом в своем столбце. Напри-

"1 0 4~

3.2.Множество ситуаций равновесия в антагонистической игре

Гобладает свойствами, которые позволяют говорить об оптималь­ ности ситуации равновесия и входящих в нее стратегий.

Теорема. Пусть (xf, yf), (jcf, yf) — две произвольные ситуации

равновесия в антагонистической игре Г. Тогда 1) ВД, yt) = K(x*2, yt); К(Х1, у1)=К{х*г, у\); 2)(x*1,y^Z(D,(xtyt)eZ(T).

Доказательство. Из определения ситуации равновесия для всех хеХ и у е Y имеем

Покажем справедливость второго из утверждений. Рассмотрим си­ туацию (xf, yf). Тогда из (3.3) — (3.5) имеем

для всех хеХ, ye Y. Доказательство равновесности ситуации (х*, у*) проводится аналогично.

Из теоремы следует, что функция выигрыша принимает одно и то же значение во всех ситуациях равновесия. Поэтому разумно ввести следующее определение.

Определение. Пусть (х*, у*) — ситуация равновесия в игре Г. Тогда число

называется значением игры Г.

Из второго утверждения теоремы следует, в частности, такой факт. Обозначим X* и Y* проекции множества Z(T) на X и Y соот­ ветственно, т. е.

X* = {х*\х* еX, Зу* е Y, (х*. у*) eZ(Y)},

17

Доказательство (3.8), как следствие второго утверждения теоремы, предоставим читателю.

Определение. Множество X*(Y*) называется множеством, оптимальных стратегий игрока 1(2) в игре Г, а его элементы — оптимальными стратегиями игрока 1 (2).

Заметим, что равенство (3.S) указывает на взаимозаменяемость оптимальных стратегий, т. е. любая пара оптимальных стратегий образует ситуацию равновесия, а выигрыш в ней равен значению игры.

33. Оптимальность поведения игроков не изменится, если в игре множества стратегий остаются прежними, а функция выигрыша умножается на положительную константу (или к ней прибавляется постоянное число).

Лемма (о масштабе). Пусть Т=(Х, Y, К) и Г' = (Х, Y, К1) две антагонистические игры, причем

Доказательство. Пусть (х*. у*) — ситуация равновесия в игре Г. Тогда имеем

К'(х*. у*)=РЦх*. у*)+а^рК(х*, у)+а=К'(х*, у), К'(х, у*)=рК(х, у*) + <х*крК{х*, у*) + а=К'(х*, у*)

для всех хеХ и ye Y. Поэтому (х*, y*)eZ$"), Z(T)cZ(r'). Обратно, пусть (х, y)eZ(J"). Тогда

К(х,у)=(11Р)К'(х,у)-а1Р

и, рассуждая аналогично, получаем, что (х, y)eZ(T). Поэтому Z(t)=Z(J"), при этом выполняется равенство

vr=K'(x*, у*)=рК(х*. y*) + a=Pvr+u.

Содержательно данная лемма говорит о стратегической эквива­ лентности двух игр, отличающихся лишь началом отсчета выигры­ шей, а также масштабом их измерения.

3.4. Теперь установим связь между принципом равновесия и при­ нципами минимакса и максимина в антагонистической игре.

Теорема. Для того чтобы в игре Г=(Х, Y, К) существовала

18

19