Л. Петросян Теория игр

Л.А.Петросян Н.А.Зенкевич Е.А.Семина

ТЕОРИЯ

ИГР

Учебное пособие

Рекомендовано

Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации

в качестве учебного пособия для студентов университетов, обучающихся по специальности «Математика»

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математическая теория игр является составной частью исследо­ вания операций. Она находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности, таких, как экономика и менед­ жмент, промышленность и сельское хозяйство, военное дело и стро­ ительство, торговля и транспорт, связь и т. д.

Несмотря на наличие богатой монографической и специальной литературы по теории игр, учебных пособий, посвященных этому разделу математики, сравнительно немного и в них рассматриваются в основном отдельные разделы теории игр. Настоящее учебное посо­ бие восполняет этот пробел. В нем отражено большинство современ­ ных направлений теории игр. Пособие методически построено так, что понятие модели конфликта (игры) развивается от простой (мат­ ричные игры) до наиболее сложной (дифференциальные игры).

Большинство учебных программ вузов предполагает чтение от­ дельных разделов или специальных курсов по теории игр. Данное учебное пособие построено таким образом, чтобы каждая глава могла служить основой такого курса. Для предварительного оз­ накомления с теорией игр достаточно изучить материал гл. I. Типовой курс по теории игр может быть построен на основе гл. I, Ш и IV. Наиболее подробно изложена теория антагонистических игр (гл. I, II, IV, V). В курсах «Системный анализ» и «Модели принятия решений» целесообразно использовать гл. III и IV. Теория неан­ тагонистических игр изложена в гл. III, IV, а теория динамических игр — в гл. IV, V. В пособии не отражены результаты теории дифференциальных игр многих лиц, поскольку этот класс игр еще недостаточно изучен. Однако имеющиеся в этом направлении рабо­ ты широко представлены в списке литературы [38, 45, 51, 77, 87, 88]. При построении курса лекций по приложениям теории игр полезно также воспользоваться специальной литературой [5, 10, 12, 20, 27, 34, 52, 53].

Во всех главах содержатся многочисленные примеры, иллю­ стрирующие основные положения теории. Некоторые из них пред­ ставляют самостоятельный интерес. В конце каждой главы при­ ведены упражнения для индивидуальной работы, расположенные в порядке изложения материала и возрастания сложности. В ряде случаев они существенно дополняют содержание главы. Систе­ матическое решение этих упражнений является важной формой изучения теории игр.

5

ВВЕДЕНИЕ

8.1.В настоящем учебном пособии изложены основные понятия

ирезультаты теории игр. Теория игр — это раздел математики,

вкотором исследуются математические модели принятия решений

вусловиях конфликта, т. е. в условиях столкновения сторон, каждая из которых стремится воздействовать на развитие конфликта в сво­ их собственных интересах. Теорию математических моделей при­ нятия оптимальных решений принято называть исследованием операций, поэтому теорию игр следует рассматривать как при­ кладную математическую теорию — составную часть исследования операций.

8.2.Задачи исследования операций можно классифицировать по уровню информации о ситуации, которой располагает субъект, принимающий решение. Наиболее простыми уровнями информа­ ции о ситуации являются детерминированный (когда условия, в ко­ торых принимаются решения, известны полностью) и стохастичес­ кий (когда известно множество возможных вариантов условий и их вероятностное распределение). В этих случаях задача сводится к на­ хождению экстремума функции (или ее математического ожидания) при заданных ограничениях. Методы решения таких задач изучают­ ся в курсах математического программирования или методов оп­ тимизации.

Наконец, третий уровень — неопределенный, когда известно множество возможных вариантов, но без какой-либо информации об их вероятностях. Такой уровень информации о ситуации являет­ ся наиболее сложным. Эта сложность оказывается принципиальной, так как могут быть не ясны сами принципы оптимального поведе­ ния. Следуя определению Н. Н. Воробьева, теория игр — это те­ ория математических моделей принятия решений в условиях неоп­ ределенности, когда принимающий решение субъект («игрок») рас­ полагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций,

водной из которых он в действительности находится, о множестве решений («стратегий»), которые он может принять, и о количествен­ ной мере того «выигрыша», который он мог бы получить, выбрав

вданной ситуации данную стратегию*.

Установление принципов оптимального поведения в условиях неопределенности, доказательство существования решений, удов-

*Воробъев Н. Н. Философская энциклопедия. Т. 5. М., 1970. С. 208—210.

7

ГЛАВА I

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ

ВНОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

1.1.Определеиие. Система

где Xи Y — непустые множества, и функция К: Хх Y-*Rl называ­ ется антагонистической игрой в нормальной форме.

Элементы хеХ и yeY называются стратегиями игроков

1 в 2 соответственно в игре Г, элементы декартового произведения Хх. Y (т. е. пары стратегий (JC, у), где хеХ и ye Y— ситуациями,

а функция К — функцией выигрыша игрока 1. Выигрыш игрока

2 в ситуации (х, у) полагается равным [—К(х, у)], поэтому функция К также называется функцией выигрыша самой игры Г, а игра Г — игрой с нулевой суммой. Таким образом, используя принятую терминологию, для задания игры Г необходимо определить множе­ ства стратегий X, Y игроков 1 и 2, а также функцию выигрыша К, заданную на множестве всех ситуаций Хх Y.

Игра Г интерпретируется следующим образом . Игроки одно­ временно и независимо выбирают стратегии хеХ, yeY. После этого игрок / получает выигрыш, равный К(х, у), а игрок 2 —

(-К(х,у)).

Определение. Игра Г' = (Х', Y', К1) называется подыгрой игры.

Г=(X, Y, К), если X' с X, Y' с У, а функция К':Х'х Y'-tR1 являет­ ся сужением функции К на X' х Y'.

В данной главе будут рассматриваться главным образом ан­ тагонистические игры, в которых множества стратегий игроков конечны.

1.2. Определение. Антагонистические игры, в которых оба игрока имеют конечные множества стратегий, называются мат­ ричными.

Пусть игрок 1 в матричной игре (1.1) имеет всего т стратегий. Упорядочим множество X стратегий первого игрока, т. е. установим взаимно однозначное соответствие между множествами М={\, 2,

..., т} и X. Аналогично, если игрок 2 имеет и стратегий, то можно установить взаимно однозначное соответствие между множествами N={\, 2,..., п} и Y. Тогда игра Г полностью определяется заданием

9