Контрольная работа №3
Задача 1. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.
Вариант 1.
а)
в)
б)
г)
Вариант 2.
а)
в)
б)
г)
Вариант 3.
а)
в)
б)
г)
Вариант 4.
а)
в)
б)
г)
Вариант 5.
а)
в)
б)
г)
Вариант 6
а)
в)
б)
г)
Вариант 7.
а)
в)
б)
г)
Вариант 8.
а)
в)
б)
г)
Вариант 9.
а)
в)
б)
г)
Вариант 10.
а)
в)
б)
г)
Задача 2. Исследовать функцию на экстремум.
Вариант 1
Вариант
2.
Вариант 3.
Вариант
4.
Найти точки перегиба кривой
Вариант 5.
Вариант
6.
Вариант 7.
Найти асимптоты кривой
Вариант 8.
Вариант
9.
Вариант 10.
Задача 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.
Вариант 1.
Вариант
2.
Вариант 3.
Вариант
4.
Вариант 5.
Вариант
6.
Вариант 7.
Вариант
8.
Вариант 9.
Вариант
10.
Задача 4. Проверить справедливости теоремы о смешанных производных второго порядка.
Вариант 1.
Вариант
2.
Вариант 3.
Вариант
4.
Вариант 5.
Вариант
6.
Вариант 7.
Вариант
8.
Вариант 9.
Вариант
10.
Задача 5. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
Вариант 1.
в точке
Вариант 2.
в точке
Вариант 3.
в точке
Вариант 4.
в точке
Вариант 5.
в точке
.
Вариант 6.
в точке
.
Вариант 7.
в точке
.
Вариант 8.
в точке
.
Вариант 9.
в точке
Вариант 10.
в точке
Задача 6. Для
функции z=f(x,y) в точке A(x0,y0)
найти градиент и производную в направлении
вектора
.
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
Методические указания по выполнению контрольной работы №3
Задача 1. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.
Теорема. Пусть функции
и
при
(или
)
совместно стремятся к нулю или к
бесконечности. Если отношение из
производных имеет предел, то отношение
самих функций так же имеет предел, равный
пределу отношений производных, т.е.
Примеры:
1. неопределенность
2. неопределенность
3. неопределенность
4. Неопределенность
приводится
к виду
или
5. Неопределенность
вида
В этих случаях данная
неопределенность преобразуется путем
предварительного логарифмирования к
виду
или
Задача 2,3. Провести полное исследование функции y=f(x) и построить ее график.
План исследования функции.
Находим область существования функции.
Проверяем функцию на четность и нечетность.
Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
Находим асимптоты графика возрастания, убывания функции и точки экстремума.
Находим асимптоты графика функции.
Находим интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.
Если для построения графика функции полученных данных недостаточно, берем несколько дополнительных точек из области существования функции.
Стрим график функции.
Пример. Построить
график функции
Проведем полное исследование данных функции по вышеуказанной схеме.
Областью Определения функции является вся числовая ось, кроме точек х=1; х=-1.
Функция нечетная т.к. f(-x)=-f(x). Для построения графика данной функции y=f(x) достаточно исследовать ее для
,
а затем воспользоваться ее симметричностью.Находим точки пересечения графика функции с осями координат х=0, у=0, О(0,0)- график функции проходит через начало системы координат.
Находим асимптоты вертикальны, горизонтальные и наклонные.
Т.к.
знаменатель обращается в нуль в точках
х=1, х=-1, то
и прямые х=1; х=-1. являются вертикальными
асимптотами.
Находим наклонные
асимптоты y=kx+b.
.
Кривая
имеет наклонную асимптоту y=-x.Находим интервал монотонности и точки экстремума функции.
Производная
существует во всех точках числовой
оси, кроме x=1, x=-1. и равна нулю в точках
.
Следовательно критическими точками
будут:
Исследуем
поведение f'(x) в окрестности каждой
критической точки. Т.к. данная функция
f(x) нечетная, достаточно рассмотреть
знак f'(x) на промежутках (-1,0); (0,1); (1,
);
(
,
).
Для наглядности результаты соберем
в таблицу 1.
|
x |
-1<x<0 |
X=0 |
0<x<1 |
1<x< |
X= |
|
|
f’(x) |
+ |
0 |
+ |
+ |
0 |
- |
|
f(x) |
Возрастает |
Нет экстремума |
Возрастает |
Возрастает |
Максимум |
Убывает |
<x<
В точках x=1,
x=-1
функция не имеет экстремума, так как
эти точки не принадлежат области
определения данной функции. Т.к. функция
f(x) нечетная, то в точке х=-
функция достигает минимума данной
функции.
Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика данной функции y=f(x). Найдем вторую производную
Критические
точки данной функции по второй производной
х=0, х=1, х=-1. Точкт х=1, х=-1 не принадлежат
области определения функции, поэтому
точкой перегиба кривой является только
точка с абсциссой х=0. Результаты
исследования запишем в таблицу 2.
|
x |
x<-1 |
-1<x<0 |
x=0 |
0<x<1 |
x>1 |
|
f’’(x) |
+ |
- |
0 |
+ |
- |
|
f(x) |
Кривая вогнута |
Кривая выпукла |
Точка перегиба |
Кривая вогнута |
Кривая выпукла |
Строим график функции
Задача 4. Проверить справедливости теоремы о смешанных производных второго порядка.
Пример 
Задача 5.
Найти уравнение касательной плоскости
и нормали к поверхности
в
точке
Решение. Преобразуем
уравнение поверхности к виду
.
Левую часть уравнения обозначим
Уравнение касательной плоскости к
поверхности
в
точке
определяется
уравнениям:
Нормали
Найдем
И их числовые значения
Подставим эти значения в уравнения (1) и (2) получим искомое уравнение касательной к плоскости 4(x-1)-2(y+1)-(z-3)=0 4x-2y-z-3=0
и нормали
Задача 6
а) Вычислить производную
функции
в
точке А(1,2) по направлению вектора
где
В(3,0).
Решение. Находим
единичный вектор
данного
направления
Производная по направлению вычисляется по формуле
Вычисляем значения
в
данной точке А(1,2).
б) Найти градиент
функции
в точке А(1,2).
Решение: Вектор с
координатами 
в токе (x,y) называется градиентом функцииz=f(x,y)
в этой точке и обозначается
