9. Экстремумы функции нескольких переменных.

Максимумом (минимумом) функции в точке называется такое ее значение, которое больше (меньше) всех других ее значений, принимаемых в точках, достаточно близких к точкеи отличных от нее.

Необходимое условие экстремума.

В точках экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных частные производные ее равны нулю. Если - точка экстремума дифференцируемой функции , то

Из этой системы уравнений находятся так называемые стационарные точки. Эта система эквивалентна одному уравнению

Достаточные условия экстремума.

Пусть - стационарная точка.

1) если

то - максимум функции.

2) если

то - минимум функции.

Эти условия эквивалентны следующим: пусть

и

тогда:

1) если , то функцияимеет экстремум в точке: максимум при(или), минимум при(или);

2) если то экстремума в точкенет.

Пример 3.

Исследовать функцию: на экстремумы.

Находим стационарные точки

Точка получилась одна: .

Находим вторые производные:

Находим :

Следовательно, стационарная точка - точка минимума.

10. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа

Если разыскивается экстремум функции многих переменных, которые связаны между собой одним или несколькими уравнениями (число уравнений должно быть меньше числа переменных), то говорят об условном экстремуме. При решении задачи можно пользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа.

Чтобы найти условный экстремум функции при наличии уравнения связи , составляют функцию Лагранжа

где - неопределенный постоянный множитель, и ищут ее экстремум. Необходимое условие экстремума выражается системой трех уравнений с тремя неизвестными:

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа

для испытуемой системы значений при условии, чтоисвязаны уравнением

Функция имеет условный максимум, если, и условный минимум, если.

11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в данной точке (точке касания) называется плоскость, в которой лежат касательные в этой точке к всевозможным кривым, проведенным на данной поверхности через указанную точку.

Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Координаты вектора нормали к поверхностив точкепропорциональны значениям соответствующих частных производных функциив этой точке:

, ,,

где

, ,.

Координаты вектора входят в уравнение касательной плоскости к поверхности в точке:

а также в уравнение нормали к данной поверхности в той же точке

.

12. Производные неявной функции.

Уравнение вида задает неявную функцию в окрестности точки. В самой точке.

Будем считать что функция имеет непрерывные частные производныев окрестности точки, т.е., и к тому же.

Дадим приращения независимым переменным и. Для новых точек также должно быть справедливым исходное уравнение, т.е.. Приращение функции будет иметь вид

Аналогично предыдущему, приращение функции представим в виде

Это приращение функции действительно равно нулю, т.к. и. Разделим получившееся уравнение на:

Или

Отсюда

И, при , последняя формула примет вид:

Пример. Дано уравнение эллипса . Найти производную.

Согласно вышеприведенной формуле,