3. Полное приращение и полные дифференциалы.

Если полное приращение функции можно записать в виде , где, то линейная часть этого уравнения -называетсяполным дифференциалом.

Действительно, предположим что функция имеет непрерывные частные производные в окрестности точки. Дадим приращение независимым переменным,. Тогда функция получит приращение

Это приращение представим в следующем виде:

То есть мы добавили и вычли выражение - от этого равенство не изменится. Но теперь первые два слагаемых представляют собой приращение функции при приращении аргумента:

Согласно теореме Лагранжа о среднем, ее можно представить в виде

Вторые два слагаемых также представляют собой приращение функции, но уже при приращении аргумента :

Это приращение также можно представить в виде

Таким образом, общее приращение функции можно представить в виде

Или

Следовательно, полный дифференциал (линейная часть приращения функции) будет иметь вид

.

4. Свойства функции непрерывной на замкнутом множестве

Функция имеет наибольшее значение на множествев точке если

Аналогично, функция имеет наименьшее значение нав точке если

Если функция непрерывна нато

5. Частная производная сложной функции

Пусть имеется функция , причеми. Требуется найти частные производныеи.

Приращение функции представим в виде:

С другой стороны приращение функции при приращениипредставим в виде

Следовательно

Или окончательно

Аналогично и для переменной :

Пример 1. Дана функция , где. Найти ее частные производные.

Имеем .

Найдем и

Подставим, получим

И аналогично

6. Производная по направлению. Градиент.

Если функция дифференцируема в точке, то для нее имеет смысл производная по направлению любого единичного вектора, выражаемая формулой

где - углы, которые векторсоставляет с осями координат.

Производная по направлению показывает скорость изменения функции в данном направлении.

Частные производные по координатам являются частным случаем производной по направлению.

Вектор

называется градиентом функции в точке.

Единичный вектор направлен в сторону градиента. Направляющие косинусы градиента определяются по формулам

Градиент показывает направление максимального изменения функции.

В каждой точке пространства градиент перпендикулярен поверхности уровня.

7. Полная производная

Пусть дана функция , зависящая от трех переменных, причеми. То есть в конечном итоге функция зависит от одной переменной. Найдем производную от функции по этой переменной. Причем, так как переменная одна, то производная будет не частной, а обычной, или, в противовес, полной производной. Следовательно, знак дифференциала будет не, а.

или

Пример 2. Найти полную производную функции , причем.

Находим:

,

а также .

Кроме того .

Отсюда

.

8. Производные высших порядков.

Дана функция . Пусть эта функция имеет непрерывные частные производныеи. В этом случае эти производные сами являются функциями и могут иметь производные. То есть производные от производных. Это будут уже производные второго порядка. При этом возможны следующие виды производных второго порядка.

В случае двух переменных вторая и четвертая производные равны между собой, хотя в общем случае это не всегда верно.

Например, для функции найти частные производные второго порядка.

Находим первые производные.

Находим вторые производные

Действительно, мы видим, что смешанные производные равны друг другу и результат не зависит от порядка дифференцирования.

Теорема.

Дана функция непрерывная в окрестности. Ее производные,,,также непрерывны в.

Доказать: .

Доказательство: Дадим приращения . Введем функции

и

.

При этом вспомогательные функции получат приращения

Из этих выражений следует, что .

С другой стороны, согласно теореме Лагранжа о среднем, приращение функций представим в виде:

Так как равны левые части, то должны быть равными и правые

Откуда

Так как , то .

Аналогичным образом можно доказать, что .