14 Фнп Функции нескольких переменных

Оглавление.

1. Основные понятия.

2. Непрерывность функции.

3. Полное приращение и полные дифференциалы.

4. Свойства функции непрерывной на замкнутом множестве.

5. Частная производная сложной функции.

6. Производная по направлению. Градиент.

7. Полная производная.

8. Производные высших порядков.

9. Экстремумы функции нескольких переменных.

10. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа.

11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

12. Производные неявной функции.

13. Частные производные неявной функции.

1. Основные понятия.

Множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству

называется открытым кругом радиуса с центром в точке. Любой открытый круг радиусас центром в точкеназывается окрестностью или - окрестностьюэтой точки.

Точка называетсявнутренней точкой множества если она принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Точка – граничная точка множества если в любой ее окрестности найдутся точки принадлежащие и не принадлежащие. Совокупность граничных точек называется границей множества.-изолированная точка множества , если в некоторой ее окрестности нет других точек множествакроме ее самой.

Множество называетсязамкнутым, если содержит все граничные точки.

Множество называетсясвязным, если любые две точки множества можно соединить непрерывной кривой лежащей в .

Область – открытое связное множество.

Множество называется ограниченным, если его можно поместить внутри круга конечного радиуса, в противном случае оно неограниченное. Односвязное множество – если любую замкнутую прямую, лежащую в , можно непрерывной деформацией стянуть в точку не покидая множества.

Рассмотрим множество пар чисел. При этом имеются ввиду упорядоченные пары. Если в силу некоторого закона каждой пареприведено в соответствие число, то говорят, что этим определена на множествефункцияот двух переменныхи.

Функцию от двух переменных изображают в трехмерном пространстве в виде геометрического места точек, проекции которых принадлежат множеству.

Например, таким геометрическим местом для функции

является верхняя половина шаровой поверхности радиуса с центром в нулевой точке.

Также можно определить функцию трех переменных, областью определения которой служит некоторое множество упорядоченных троек чисел .

Аналогично можно рассматривать множество упорядоченных системизчисел и т.д. В случаев нашем распоряжении уже нет реального- мерного пространства, чтобы использовать его для изображения систем. Но математики придумали такое пространство и оно им благополучно служит.

Основные сведения мы будем излагать для функции двух переменных. При этом полученные результаты легко распространить на случай большего числа переменных.

2. Непрерывность функции

Полное приращение функции двух переменных в точкеопределяется выражением:

а ее частные приращения в той же точке выражениями

где принадлежат области определения функции.

Число называетсяпределом функции пристремящимся к, если для любогосуществует такое, что при всех, расстояние которых до точкименьше, т.е.

выполняется неравенство

Функция называетсянепрерывной в точке если

Дадим приращение аргументу . Это приращениевызовет приращение функции, обусловленное приращением:

И аналогично для приращения аргумента :

Соответственно вводятся в рассмотрение частные производные:

Или

При этом частная производная от поберется в предположении, что . Аналогично и для частной производной по .

Например, найдем частные производные от . Имеем: