Механический смысл векторного произведения.

Пусть в точке к диску приложена сила. Определить момент силыотносительно точкина диске.

Пусть- радиус-вектор точки приложения силы,- плечо, т.е. расстояние от точкидо вектора силы,- угол между векторамии,- плоскость диска. Векторыипринадлежат диску ().

Отсюда следует, что.

Пример 11. Сила приложена в точке. Определить момент силы относительно точки.

Решение. Образуем вектор . Тогда момент относительно точкивычисляется по формуле:. Отсюда

, или .

Свойства векторного произведения векторов.

1. Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю.

.

2. Антикоммутативность: .

3. Ассоциативность относительно скалярного множителя:

().

4. Дистрибутивность: .

Таблица векторного умножения ортонормированного базиса ,,.

.

Для запоминания можно воспользоваться круговым правилом:

Если перемещаться последовательно от одного к другому вектору против хода часовой стрелки, то следующий вектор надо писать со знаком (+), а по ходу стрелки следующий вектор со знаком (-).

Пример 12. Даны точки , , , .

Найти векторное произведение и его модуль.

Решение. Найдем

,,

,

По формуле векторного произведения, имеем

. Таким образом, векторное произведение имеет координаты:

, а его модуль

.

Пример 13. Даны точки , , .

Найти площадь треугольника .

Решение. Найдем ,.

Векторное произведение и его модуль найдем как.

,

, .

Применив формулу площади для треугольника , построенного на векторахи , запишем . Отсюда получаем, что(кв. ед.).

Пример 14. Найти , если, , , .

Решение. Используя свойства векторного произведения, упростим конструкцию вектора , а именно:

.

Так как , то. Следовательно,

.

Теперь по формуле модуля векторного произведения, получаем

.

Пример 15. Зная векторы и, вычислите длину высотытреугольника(см. рис).

Решение. Обозначая площадь треугольника через, получим:

. Тогда ,. С другой стороны, площадь треугольника определяется через векторное произведение как:.

Длину стороны найдем из равенства:. Значит, вектор имеет координаты.

.

Следовательно, модуль этого векторного произведения равен:

,

Откуда

.

Пример 16. Даны два вектора и. Найдите единичный вектор, ортогональный векторам ии направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов,,была правой.

Решение. Обозначим координаты вектора относительно данного правого ортонормированного базиса через.

Поскольку , и, то , . По условию задачи требуется, чтобы и.

Имеем систему уравнений для нахождения :

Из второго уравнения системы получим:. Подставим в первое

.

Подставляя ив третье уравнение, будем иметь:, откуда.

Используя условие , получим неравенство

Или

Отсюда

С учетом выражений для иперепишем полученное неравенство в виде:, откуда следует, что. Итак,,,.

5.В. Смешанное произведение трех векторов.

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется векторное произведение двух векторов, скалярно умноженное на третий вектор:

Смешанное произведение есть скалярная величина, по модулю численно равная объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пусть , тогда

V_{параллелепипеда,} где “+” означает, что ,,образуют правую тройку, а “-“ –левую тройку. Отсюда получаем, что

; .