Свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны: .

2. Скалярное произведение коммутативно: .

3. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя: .

4. Скалярное произведение дистрибутивно:

.

5. Свойство скалярного квадрата: , отсюда.

Рассмотрим таблицу скалярного умножения ортов:

Скалярное произведение одноименных ортов равно единице, а разноименных - нулю.

Угол между двумя векторами.

Из определения скалярного произведения:

.

Условие ортогональности двух векторов:

Условие коллинеарности двух векторов:

.

Следует из определения 5 - . Действительно, из определения произведения вектора на число, следует. Поэтому, исходя из правила равенства векторов, запишем,,, откуда вытекает. Но вектор, получившийся в результате умножения векторана число, коллинеарен вектору.

Проекция вектора на вектор:

.

Пример 4. Даны точки , , , .

Найти скалярное произведение .

Решение. найдем по формуле скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Поскольку

,,

,

то .

Пример 5. Даны точки , , , .

Найти проекцию .

Решение. Поскольку

,,

,

то и .

На основании формулы проекции, имеем

.

Пример 6. Даны точки , , , .

Найти угол между векторами и.

Решение. Заметим, что вектора

,,

,

не являются коллинеарными, поскольку не пропорциональны их координаты:

.

Эти вектора не являются также перпендикулярными, так как их скалярное произведение .

Найдем ,

Угол найдем из формулы:

.

Пример 7. Определить при каких вектораиколлинеарны.

Решение. В случае коллинеарности, соответствующие координаты векторов идолжны быть пропорциональны, то есть:

.

Отсюда и.

Пример 8. Определить, при каком значении вектораиперпендикулярны.

Решение. Вектора иперпендикулярны, если их скалярное произведениеравно нулю. Из этого условия получаем:. Стало быть,.

Пример 9. Найти, если , , .

Решение. В силу свойств скалярного произведения, имеем:

Пример 10. Найдите угол между векторами и, где и - единичные векторы и угол между векторами иравен 120^о.

Решение. Имеем: ,,

Значит

Значит

Окончательно имеем: .

5.Б. Векторное произведение.

Определение 21. Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, или, определяемый следующими тремя условиями:

1. Модуль вектора равен, где- угол между векторамии, т.е..

Отсюда следует, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах икак на сторонах.

2. Вектор перпендикулярен к каждому из векторови(;), т.е. перпендикулярен плоскости параллелограмма, построенного на векторахи.

3. Вектор направлен так, что если смотреть из его конца, то кратчайший поворот от векторак векторубыл бы против часовой стрелки (векторы,,образуют правую тройку).

Векторное произведение двух векторов, заданных своими проекциями.

Пусть даны векторы и, тогда

.

Если разложить определитель по элементам первой строки, то

=.