Декартова система координат.

Ортонормированный базис образуют взаимно перпендикулярные векторы ,, единичной длины, т.е.

и .

Точка - начало координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении векторов ,,, называются осями координат. Векторы ,, соответствуют положительному направлению осей координат: ,,- оси абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями,,(см. рис. 7).

Определение 16. Прямоугольной системой координат называется совокупность точки () и ортонормированного базиса.

Определение 17. Радиус-вектором произвольной точки по отношению к точке, называется вектор. Точкеможно сопоставить упорядоченную тройку чисел () - компоненты ее радиус-вектора:и(см. рис. 8).

Определение 18. Компоненты радиус-вектора точки по отношению к началу координат называют координатами точкив рассматриваемой системе координат.

Координаты вектора совпадают с проекцией вектора на соответствующие оси координат (рис.8):

, , , ,

Согласно рис. 9 имеем: ,,,,

.

Пусть вектор задан координатами крайних точек,и(рис. 10).

Тогда

Следовательно, чтобы определить координаты вектора по координатам крайних точек, надо из координат конца вычесть соответствующие координаты начала: .

Определение 19. Пусть - углы между вектороми соответственно ортами ,, (рис. 9), тогда направляющие косинусы вектора определяются по правилу:

,

,

,

Следовательно, сумма квадратов направляющих косинусов равна :.

Пример 1. Даны точки , , , .

Найти координаты и длину вектора .

Решение. Найдем координаты векторов и:

,,

,.

По правилам действий с векторами, получим:

и}.

Теперь находим длину искомого вектора:

==.

Пример 2. Даны точки , .

Найти направляющие косинусы вектора .

Решение. Так как , тои направляющие косинусы находятся согласно формулам:

, ,.

Связь компонент, проекций, направляющих косинусов и коэффициентов в разложении по базису.

Пусть вектор в пространстве; ,, - ортонормированный базис в данной системе координат, - углы между вектороми соответственно ортами ,,. Тогда

,

где , , -составляющие вектора ,- координаты векторав базисе ,,,

, , .

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть ,. Координаты точкина отрезке, которая делит этот отрезок в отношении, т.е., определяются по формулам:

, , .

Координаты середины отрезка соответствуют значениюи определяются как полусумма координат концов отрезка:

, , .

5. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.

Пусть и.

1. При умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число: , , тогда.

2. При сложении (вычитании) векторов их одноименные проекции складываются (вычитаются): , тогда .

5.А. Скалярное произведение векторов.

Определение 20. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение символом или.

Скалярное произведение векторов можно выразить формулами:

Отсюда скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного вектора на проекцию на него другого.

Пусть вектор перемещениябудет неподвижен, а точка приложения вектора силыскользит вдоль вектора, тогда

есть работа, совершаемая под действием силы вдоль вектора.

Пример 3. Вычислить, какую работу производит сила , когда точка ее приложения перемещается изв.

Решение. Образуем вектор перемещения .

Тогда работа .

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.

Пусть итогда

.

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.