9. Производная функции.

Пусть функция определена в окрестности. Тогда производной от функциив точкеназывается предел

где .Функция, которая имеет производную, называется дифференцируемой.

Теорема 8 (о непрерывности дифференцируемой функции).

Если функция дифференцируема в , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Пусть существует производная . Тогда

,

причем . Отсюда

Отсюда следует, что значение непрерывно.

10. Основные правила дифференцирования.

1.

Доказательство:

2. (производная от суммы равна сумме производных).

Доказательство:

3. константу можно выносить за знак производной.

Доказательство:

Производная сохраняет линейные комбинации.

4. Производная произведения:

5. Производная частного:

Доказательство:

6. Производная сложной функции:

Доказательство:

Пример.

7. Производная обратной функции

8. Производная функции, заданной параметрически:

Доказательство:

9. Производная функции .

Пример.

.

10. Если функция задана неявно, т.е. уравнением , то производнаяэтой неявной функции может быть найдена из уравнения, гдерассматривается как сложная функция переменной.

Пример. Найти производную неявной функции .

Это уравнение определяет - функцию от. Подставляя функциюв данное уравнение, получаем тождество. Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим.

.

11. Производные элементарных функций

1. ,

2.

3.

4. ,,

5.

6. ,

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

12. Геометрический смысл производной, уравнение касательной и нормали к кривой.

Пусть- фиксированная точка,- текущая,- секущая. Присекущая переходит в касательную в точке(предельное положение секущей).

если то

.

Далее, нам известно уравнение прямой линии

Здесь . Отсюда

- уравнение касательной

- уравнение прямой, перпендикулярной данной.

- нормали.

Производные высших порядков явно заданных функций

Производной второго порядка, или второй производной, функции называется производная от ее производной.

Обозначение второй производной

Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и более высоких порядков

Производные порядка обозначаются и так

Если функция задана параметрически: ,, то ее вторая производная определяется формулой

13. Дифференциал функции.

Пусть функция определена в окрестностии имеет производную в этой точке

При этом . Тогда для достаточно малыхможно записать

Причем при. В этом случае приращение функции можно записать в виде

Или

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращениеможно представить в виде

где не зависит от, но вообще зависит от.

Теорема 9. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке.

Таким образом, сказать, что имеет производную в точкеили чтодифференцируема в точке- это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием функции.

Доказательство.

Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представленияв виде, где можно положить.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке. Тогда, если, можно записать

Предел левой части при существует и равен:

Это означает, что существует производная .