8. Непрерывные функции. Определение непрерывности с помощью приращений.

На рисунке изображен график функции. Зададим точку. Близкая ей точка, где- приращение. Разность

называется приращением функции в точке, соответствующим приращению. На рисунке,.

Будем стремить к нулю. Тогда для рассматриваемой функции ибудет стремиться к нулю

Рассмотрим теперь график другой функции . Придадим теперьприращениеи определим соответствующее приращение функции

Если мы будем стремить к нулю, то теперь уже нельзя сказать, чтостремится к нулю.

Теперь можно дать определение.

Функцию , заданную на отрезке, называютнепрерывной в точке этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению, стремится к нулю при любом способе стремленияк нулю.

Это свойство непрерывности в точкезаписывают в виде

В противном случае функция называется разрывной.

Функция непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на этом отрезке (интервале).

Функция называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке, и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента, стремится к нулю при

Либо ;;

.

Пример. Функция непрерывна для любого. В самом деле.

Но для любого имеет место неравенство. Если, то это следует из рисунка (длина дуги больше стягивающей ее хорды). Отсюда следует

Но тогда, очевидно, . Что и требовалось доказать.

Если функции инепрерывны в точке, то непрерывны также в этой точке их сумма, разность, произведение и частное (при).

Пример. Функция непрерывна. Она является композицией двух непрерывных функций:, и.

Точки разрыва и их классификация.

Пусть функция – имеет предел в точке слева (справа). Если:

а сама функция в точке не определена, то эта точка называетсяустранимой точкой разрыва.

Если функция такова, что существуют пределы в точке, но верхнее равенство не выполняется, то функцияв точкеимеетразрыв первого рода.

Если у функции не существует правого предела или левого предела в точке, или не существует как правого, так и левого предела, или же эти пределы бесконечны, то функцияв этой точке имеетразрыв второго рода.

Например, функция . Точка- точка разрыва второго рода,.

Теорема 4. Если не убывает на отрезке, то существуют пределыи.

Следствие. Если не убывает на отрезке, то в любой точкесуществует правый предели в любой точкесуществует левый предел.

Теоремы о непрерывных функциях

Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна во всех точках интервала, непрерывна справа в точкеи непрерывна слева в точке.

Теорема 5. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем, т.е. существует константатакая, что выполняется неравенство

На рисунке изображен график непрерывной функции на отрезке. Очевидно, что существует такое число, что график находится ниже прямой, но выше прямой.

Теорема 6 (Вейерштрассе). Если функция непрерывна на, то существует ее минимум и максимум на, т.е. существуют точкитакие, чтодля всех. См. рис.

Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезкеи числаине равны нулю и имеют разные знаки, то на интервалеимеется по крайней мере одна точкатакая, что.

Следствие 1. Если функция непрерывна на,,,ипроизвольное число, находящееся между числамии, то на интерваленайдется по крайней мере одна точкатакая, что.

Следствие 2. Непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями.