6. Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Функцию, для которой называется бесконечно большой при.

Функцию, для которой называется бесконечно малой при.

Свойства бесконечно малых величин.

1. Сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

2. Произведение двух бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

3. Произведение бесконечно малой величины на константу есть бесконечно малая величина.

Будем рассматривать две функции и, заданные в некоторой окрестноститочки, за исключением, быть может, самой точки. Будем считать, чтона. Еслито этот факт записывают так:, и говорят,естьотпри.

Например

Выражение , обозначает бесконечно малую при.

Свойство отражает тот факт, что функциюможно записать в виде, гдепри.

Если функции исами бесконечно малые, то символ(по старинной терминологии) означает бесконечно малую, более высокого порядка .

Если функции исуть бесконечно большие, то символ(по старинной терминологии), означает бесконечно большую более высокого порядка .

Кроме того, пишут

и называют функции иэквивалентными (асимптотически равными) при, если выполняется свойство:

Например.

Теорема. Если

то

Доказательство. Если наи выполняется условие теоремы, то, очевидно, и. Но тогда

Теорема. Если

то

Эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует в них предел справа, то существует предел и слева, и они равны, и обратно.

Отсюда следует, что если какой-либо из этих пределов не существует, то не существует и второй.

Пример. , потому, что

Пример.

7. Замечательные пределы

1.

Доказательство. Так как функция является непрерывной, топри. Поэтому выражениепредставляет собой неопределенность типа. Раскроем эту неопределенность. Согласно рисунку можно записать

при

так как из рисунка вытекает ,,,. Отсюда, разделив на, получим

или

Функция непрерывная, поэтому

И, следовательно, .

2.

Рассмотрим вначале вспомогательную последовательность

Эта последовательность возрастающая, и ограничена сверху. Действительно, на основании формулы бинома Ньютона имеем:

Отсюда

Из данного равенства видно, что последовательность . Докажем, что последовательностьограничена сверху. Из предыдущего следует, что

Так как в скобках стоит геометрическая прогрессия с показателем , а сумма геометрической прогрессии равна.

Покажем теперь, что последовательность возрастающая. Можно записать

Сравнивая и, видим, что, так как каждое слагаемое вбольше слагаемого ви, кроме того, вимеется на одно положительное слагаемое больше.

Следовательно, последовательность сходится. Обозначим предел этой последовательности буквой, как это впервые предложил Л.Эйлер

Доказательство. Мы должны показать, что

Это равенство справедливо, если - натуральное число. Пусть теперь- произвольное число, стремящееся к бесконечности. Пусть- целая часть числа. Тогда. В этом случае

При ,, следовательно, первый и последний член цепочки неравенств стремятся к. Поэтому

Так как при этом , то мы доказали исходное при.

Если теперь , то введем новую переменнуюи

Тем самым теорема доказана.

Пример. . Получается из второго замечательного предела заменой.

Пример.

Если , тои

Пример. ,.

Доказательство.

Пример. ,.

Доказательство. Положим . Тогда