4. Предел функции.

Число называется пределом функциив точке, если она определена на некоторой окрестности, т.е. на некотором интервале, где, за исключением, быть может, самой точки, и если для всякогоможно указать зависящее от неготакое, что для всех, для которых, имеет место неравенство

.

Тот факт, что есть пределв точке, записывают следующим образом

Другое определение предела функции.

Число называется пределом функциив точке, если она определена на некоторой окрестности, за исключением, быть может, самой точки, и если предел последовательностисуществует и равен, какова бы ни была последовательность, сходящаяся ки такая, чтодля всех. Таким образом

Выражение предел функции в точке часто заменяют выражениемпредел функции при , стремящемся к, или, короче,предел функции при .

По аналогии вводят следующее определение.

Число есть предел функциипри, стремящемся к бесконечности, еслиопределена для всех, удовлетворяющих неравенствупри некотором, и для любогоможно найти числотакое, чтодля всех, удовлетворяющих неравенству.

Многие свойства пределов при, где- конечное число, и приявляются аналогичными. Для этого под буквойлибо число (конечное), либо символ. Еслиесть число, то под окрестностью точкипонимается любой интервал, содержащий в себе точку. Таким образом, окрестность (конечной) точкиесть множество всех точек, удовлетворяющих неравенствам. Если же(илиили), то под окрестностьюусловимся понимать множество всех, удовлетворяющих неравенству

Произвольную окрестность точки обозначают символом.

Свойства пределов функции.

1. Если

и на некоторой окрестности ,,, то.

2. Если

и на некоторой окрестности ,,, то.

3. Пусть , гдеи- конечные числа. Тогда

5. Признаки существования пределов

Теорема 1. Если , где- конечное число, то на некоторой окрестностифункцияограничена, т.е. существует положительное числотакое, что

Доказательство. Из условия теоремы следует существования окрестности такой, что

Отсюда для указанных

где надо считать . Теорема доказана.

Теорема 2. Если и- конечное число, то существует окрестностьтакая, что

Более того, для указанных , если,, если.

Доказательство. Из условия теоремы следует существование для окрестноститакой, что

откуда для указанных. Первое из этих неравенств можно заменить следующими:

При отсюда следует

а при следует

ч.т.д.

Теорема 3. (критерий Коши существования предела). Для того чтобы существовал предел (конечный) , необходимо и достаточно, чтобы функциябыла определена в окрестности, за исключением, быть может, самой точки, и для всякогосуществовала такая окрестность, что, каковы бы не были точки

Односторонние пределы

По определению число называется пределом функциив точкесправа (слева), если она определена на некотором полуинтервале() и для нее существует

для любой указанной последовательности .

Предел справа (слева) функции в точкепринято обозначать так:

Если определена на интервале, то в точкеможет иметь смысл только число, а в точке- только число.

Равенства эквивалентны существованию предела.