Обратная функция

Итак, каждому по определенному закону ставится в соответствие единственное значение. С другой стороны, каждомусоответствует одно, или несколько значений.

В случае, когда каждому по некоторому законусоответствует только одно значение, получаем функцию

заданную на множестве со значениями во множестве. Эту функциюназывают обратной функцией, по отношению к функции. Эти функции называются взаимно обратными. Для них выполняются тождества

Например. .

Некоторые свойства функций

1. Функция называется четной, если

.

2. Функция называется нечетной, если

.

3. Функция называется периодической еслии(существует такое число "М" больше нуля, что для любого "х" принадлежащего множеству "А" выполняется равенство).

4. Функция возрастает, если.

5. Функция неубывающая, если.

6. Функция убывает, если.

7. Функция невозрастающая, если.

8. Функция ограничена сверху на множестве, если.

9. Функция ограничена снизу на множестве, если.

Определение. Функция – ограничена, если она ограничена сверху и снизу.

Основные элементарные функции

Элементарные функциями называют все функции, которые можно получить из основных элементарных с помощью алгебраических действий и образования сложных функций.

3. Предел числовой последовательности

Пусть каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в соответствие действительное или комплексное число. Тогда этим задана последовательность

Отдельные числа последовательностиназываются ееэлементами.

Надо иметь ввиду, что иприсчитаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой.

Определение. Число называется пределом последовательности, если для всякогонайдется (зависящее от) числотакое, что выполняется неравенство

для всех (натуральных) .

В этом случае пишут

и говорят, что переменная или последовательность имеет предел, равный числу , или стремится к . Говорят также, что переменная или последовательность сходится к числу .

Геометрический смысл предела

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: числоявляется пределом последовательности , если в любой его - окрестности содержатся почти все члены , или вне этой окрестности находится лишь конечное число членов данной последовательности.

Пример 1. Дана последовательность . Предел этой последовательности, т.е.. Действительно, зададим произвольное числои решим неравенство

Этим для всякого найдено число такое, что неравенство выполняется для всех .

Пример 2. Дана последовательность . Предел этой последовательности, т.е.. В самом деле, составим неравенство. Оно, как мы видели, выполняется для любого, если .

Свойства пределов числовых последовательностей

1. Предел постоянной равен самой постоянной - .

2. Последовательность не может иметь двух различных пределов, если предел существует, то он единственный.

Доказательство от противного. Допустим, что имеет два различных предела и. Покроем точкиисоответственно интерваламиинастолько малой длины, чтобы эти интервалы не пересекались.

Так как, то в интерваленаходятся все элементы, за исключением конечного их числа. Но тогда интервалне может содержать в себе бесконечное число элементовине может стремиться к. Мы пришли к противоречию, теорема доказана.

3. Если последовательность сходится (имеет предел), то она ограничена.

Доказательство. Пусть . Зададими подберем натуральное числотак, чтобы

Но тогда и выполняется неравенство

для всех . Пустьнаибольшее из чисел

Тогда, очевидно,

Теорема доказана.