10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение вида
где
- постоянные (
),
называется дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Если
,
то уравнение называется линейным
однородным дифференциальным уравнением
с постоянными коэффициентами, или
уравнением без правой части:
.
Последнее уравнение можно привести к виду
Уравнение
называется его характеристическим уравнением.
В зависимости от корней
и
характеристического уравнения получаем
общее решение уравнения
в виде:
1.
если корни действительны и различны;
2.
если корни действительны и равны;
3.
если
- комплексные числа.
Пример.
Проинтегрировать дифференциальное
уравнение
;
найти его частное решение, удовлетворяющее
условиям:
.
Характеристическое уравнение будет иметь вид:
,
его корни равны
Общее решение будет иметь вид:
.
Чтобы найти указанное
частное решение, подставим начальные
данные. Для этого вначале найдем
.
В результате будем иметь систему:
Решив систему, найдем:
.
Отсюда
11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Если
,
то уравнение будет иметь вид:
и называться линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Это уравнение может быть приведено к виду
Общее решение этого уравнения определяется формулой
где
- общее решение соответствующего
однородного уравнения
,
а
- частное решение исходного уравнения
.
В простейших случаях, когда
функция
является показательной, или многочленом,
указанное частное решение находится с
помощью метода неопределенных
коэффициентов.
1. Если
где
- постоянные, то частное решение ищут
в виде
,
когда
не является корнем характеристического
уравнения или в виде
,
когда
- простой корень характеристического
уравнения, или
,
когда
- кратный корень указанного уравнения.
2. Если
где
- постоянные, то частное решение ищут
в виде
,
когда
,
и в виде
,
когда
.
3. Если
,
где
- многочлен степени
,
то частное решение дифференциального
уравнения
ищут в виде
в случае, когда
,
и в виде
,
когда
,
.
Пусть дано неоднородное уравнение
правая часть которого есть
сумма двух функций
и
.
Если
является частным решением
,
а
- частным решением
,
то
- частное решение
.
Пример.
Проинтегрировать уравнение
.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Характеристическое уравнение
имеет корни
Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой
.
Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.
Так как в данном случае
(т.е. имеет вид
где
,
)
и
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение ищем в
виде
.
Найдя производные этой функции
и
,
и подставляя выражения для
,
в исходное уравнение, получаем
.
Так как
- решение уравнения, то последнее
равенство выполняется для всех
,
т.е. является тождеством:
откуда
. Следовательно, частное решение имеет
вид
.
Соответственно, общее решение
.
FVB