3. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида

где - функции только,- функции только.

Предположив, что ии разделив уравнение на это произведениеполучим уравнение:

которое называют уравнением с разделенными переменными. Оно имеет общий интеграл

Корни уравнений ,являются решениями исходного дифференциального уравнения.

Первое слагаемое есть функция только от , второе слагаемое - только от, поэтому можно записать

,

Или .

Пример. Решить дифференциальное .

Приведем это уравнение к виду, с разделенными переменными

,

Отсюда

.

Проинтегрируем, получим .

Отсюда .

Задача о распаде радиоактивного вещества.

Скорость распада радиоактивного вещества пропорционально массе вещества. Найти закон распада и период полураспада.

Имеем . В начальный момент-. Преобразуем уравнение к виду. Проинтегрируем:. Преобразуем. Используя начальные условия, получим. Отсюда.

Найдем теперь выражение для – периода полураспада, т.е. времени, в течение которого распадется половина всех ядер исходного вещества. По условию. Подставим в решение

,

отсюда ,,,,,,.

4. Однородные уравнения первого порядка

Функция называется однородной степени, если для любыхвыполняется тождество

Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным, если и- однородные функции одной и той же степени.

С помощью новой переменной , вводимой по формуле

однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Введем новую переменную по правилу, получим

Подставим в исходное уравнение:

Преобразуем

Перепишем получившееся уравнение в виде:

Проинтегрируем левую и правую части:

Вернемся к "старым" переменным:

5. Линейные уравнения

Уравнение вида

или

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение линейного уравнения ищут в виде произведения двух функций

Следовательно,

Подстановка выражений для ив исходное уравнение приводит его к виду

Отсюда

Это уравнение приводят к более простому виду, полагая выражение в круглых скобках равным нулю:

Тем самым мы получаем уравнение для определения .

Тогда функция определяется уравнением

.

Пример.

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

.

Данное уравнение является линейным. Решение ищем в виде . Найдем производную от этого выражения:. Значенияиподставим в исходное уравнение:

Перегруппируем его

В качестве выбираем одну из функций, обращающих в нуль коэффициент при- круглую скобку:

Разделив переменные, получим

Откуда

Или, после операции потенцирования:

.

Не теряя общности, положим . Отсюда получаем выражение для.

Для определения остается уравнение

Подставив сюда найденное значение , получим:

, или

из которого определяем . Соответственно, общее решение будет иметь вид:

Также можно воспользоваться методом вариации произвольной постоянной, который состоит в следующем. Сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения . Далее величину, входящую в это уравнение, полагают функциейи находят ее.