1.4. Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называют множество М, содержащее все возможные пары, в которых на первом месте стоит элемент из А, на втором – элемент из В. Формально АхВ = М, М={(a_i , b_j )| a_i ÎA, b_j ÎB}. Элементы декартова произведения являются кортежами.

Пример. Пусть А={1,2,b} и B={a, b, 2}, тогда AxB={(1, a), (2, a), (b, a), (1, b), (2, b), (b, b), (1, 2), (2, 2), (b, 2)}.

Если |A| =na и |B|=nb, то |AxB|=na×nb

Аналогично вводится произведение трех, четырех и т.д. множеств как множество троек, четверок и так далее, в которых на первом месте записан элемент первого множества, на втором - элемент второго и т.д.. Если все сомножители в произведении одинаковы, оно называется декартовой степенью: А=А¹; АхА=А²; АхАхА=А³; АхАх А...А = А^k, k>0.

Результат декартова произведения не является подмножеством универсального множества.

Для декартова произведения не выполняются условия коммутативности и ассоциативности. Действительно, множество АхВ содержит в качестве элементов пары (а_i ,b_j ), а множества ВхА — пары (b_i ,a_j ), т.е. результирующие множества содержат различные элементы. Элементы произведения (АхВ )хС - пары ((a_i ,b_j ),c_k ), а Ах(ВхС)пары (a_i ,(b_j ,c_k)). Элементами множества АхВхС являются тройки (a_i ,b_j ,c_k). Значит, (АхВ)хС ¹ А х ( ВхС ) ¹ АхВхС.

1.5 Основные определения алгебры логики

Булевой (логической) переменной называют переменную, принимающую значение из множества {0,1}. Название «логическая» следует из того, что её значения трактуются чаще всего как «истина» (для 1) и «ложь» (для 0).

Функцией алгебры логики (переключательной или булевой функцией) от n переменных называют однозначное отображение множества всевозможных наборов значений n булевых переменных в множество {0,1}.

Такую функцию можно представить в виде таблицы из n+1 столбцов и 2ⁿ строк. Эта таблица называется таблицей истинности.

Наборы значений переменных располагают в лексикографическом порядке (в порядке возрастания), как в примере в табл. 1.1 для n = 3.

Число всевозможных наборов значений переменных составляет N=2ⁿ. Число различных функций, которые могут быть записаны в таблице, равно 2^N.

Таблица 1.1

x1	x2	x3	f
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Второй способ описания функции состоит в том. что перечисляются наборы значений, на которых функция равна 1 (множество Т1), или равна 0 (множество Т0).

Для приведённого примера функцию можно представить как Т1={001,010,100, 111}.

Третий способ описания – представление функций в виде вектора. Так как порядок перечисления наборов входных переменных установлен, то достаточно указать только столбец функции. Для приведенного примера это будет вектор <01101001> .

Определение. Булева функция существенно зависит от переменной х_i, если найдутся два набора значений переменных, отличающиеся только i-й компонентой, на которых значения функции не совпадают. Переменная, от которой функция существенно не зависит, называется несущественной или мнимой для данной функции.

Пример. Пусть функция на наборах значений переменных <00110> и <01110> равна, соответственно, 1 и 0. Эта функция существенно зависит от второй переменной, потому что её значение на этих наборах определяется только значением этой переменной.

Будем считать, что функция не изменится, если в нее добавить или из нее убрать любое количество несущественных переменных.

Таблица 1.2

x	0	x	`x	1
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Среди четырех функций одной переменной, приведенных в табл.1.2, две функции, первая и последняя, являются константами (не зависящими ни от одной переменной). Их обозначают соответственно как 0 и 1. Вторая функция повторяет переменную. Третья противоположна ей, называется инверсией и обозначается `x.

Пусть [n] – число функций, существенно зависимых от n переменных. Тогда [1] = 2, [0] = 2. Для любого n это число можно подсчитать по рекуррентной формуле

[n] = 2^N- [0] - C_n¹[1] - C_n²[2] - .... C_n^n-1[n-1].

Здесь N=2ⁿ, первая компонента – число функций от n переменных, из которого последовательно для i=0,1,..., n-1 вычитаются произведения числа функций, существенно зависимых от i переменных, на число способов, которыми можно выбрать i переменных из n.

Так, для n = 2 [2]=16-2-2×2=10. Для n=3 [3]=256-2-3×2-3×10=218.