Задача 8

Прямолинейный проводник с длиной активной части 8 см и током 20 А находится в неоднородном магнитном поле (рис. 7). Магнитная индукция меняется по закону = с·х², где с = 0,1 Тл/м² , — орт оси OZ. Какая совершается работа при перемещении проводника вдоль оси ОХ из точки с координатой x₁= 0 см в точку с координатой х₂ = 20 см (рис. 8)? Какую ско­рость приобретет проводник при таком перемещении? Проводник распо­ложен и перемещается перпендикулярно линиям индукции. Масса провод­ника 10 г.

Рис.7 Рис.8

Дано: Решение

L= 0.08 м; I = 20 А По определению механическая работа

x₁= 0 см ; х₂ = 20 см А =

= с·х² В нашем случае α = 0°,

c = 0.1 Тл/м²

m = 0,01 кг F_A=1LB = IL· 0,1 · x² (рис. 8), поэтому

A,v-?

A=01IL

По теореме о кинетической энергии работа магнитного поля приводит к изменению кинетической энергии проводника, поэтому

А=

Ответ: А = 4,3·10^-4Дж; v = 0,3 м/с.

4. Сила Лоренца. Движение частиц в магнитном и электрическом полях. (Задачи № 75 —100)

Указания

При решении этих задач используются алгоритмы задач по механике с добавлением силы Лоренца.

Задача 9

Альфа-частица c кинетической энергией К = 500 эВ, влетает в од­нородное магнитное иоле перпендикулярно его силовым линиям, Индукция магнитного поля В = 0,1 Тл. Найти: 1) силу, действующую на частицу; 2) ра­диус окружности, по которой движется частица; 3) период обращения час­тицы.

Рис.9

Дано: Решение

К = 500 эВ = Зная кинетическую энергию альфа-частицы, определим ее скорость v:

= 1,6·10^-19·500 Дж К= (1)

В = 0,1 Тл где m — масса альфа-частицы.

F_л -?R - ?Т -?

На движущуюся частицу с зарядом q в магнитном поле действует сила Ло­ренца (рис. 9)

F_л = qv B sinα

направленная всегда перпендикулярно скорости частицы (правило левой руки):. В нашем случае угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции α = π/2, следовательно:

F_л = (2)

Под действием силы Лоренца альфа-частица приобретает центростре­мительное ускорение

а_цс

По второму закону Ньютона:

=

(3)

Период обращения Т ─ это время, в течение которого альфа-частица совер­шит один оборот по окружности радиусом R:

Учитывая соотношения (1) и (3), получаем:

(4)

Ответ: R = 3,2• 10^-2 м; T = 1,3 • 10^-6 с; F_л =5·10^-15Н.

Задача 10

Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 10000 В, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл под углом 30° к направлению линий индукции. Определить радиус и шаг спирали, по кото­рой электрон будет двигаться в магнитном поле.

Рис.10

Дано: Решение

U = 10⁴В Используя теорему о кинетической энергии, получаем, что электрон,

прошедший разность потенциалов U, приобрел скорость

В = 0,1 Тл

α = 30° v =

R -?

L -?

Представим скорость электрона как v =v_║ + v_┴ (рис.10). Составляющая v_║ = vcosα обеспечивает частице равномерное движение вдоль направле­ния поля.

Составляющая v_┴ = vsinα приводит к равномерному движению части­цы по окружности радиусом R [см. задачу 9 формулу (3)]

/

Период обращения [см. задачу 9 формулу (4)]:

Т = = 3,58 • 10^-10 с.

Шаг спирали L найдем из условия: период обращения и время смещения на один шаг одинаковы, тогда

L = v_║T = vcosα▪Т=1, 86·10^-2(м).

Ответ: R= 1,71·10^-3м; L = 1, 86·10^-2м.