2.Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Одна и та же сила может сообщать вращающемуся телу разные угловые ускорения в зависимости от её направления и точки приложения. Для характеристики вращающего действия силы вводят понятие момента силы.

Различают момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Моментом силы относительно точки О (полюса) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы: .

Поясняющий это определение рис. 3 выполнен в предположении, что точка О и вектор лежат в плоскости чертежа, тогда вектор также располагается в этой плоскости, а вектор перпендикулярен к ней и направлен от нас (как векторное произведение 2-х векторов; по правилу правого буравчика).

Модуль момента силы численно равен произведению силы на плечо:

,

где - плечо силы относительно точки О,  - угол между направлениями и , .

Плечо - кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вектор момента силы сонаправлен с поступательным движением правого буравчика, если его рукоятку вращать по направлению вращающего действия силы. Момент силы - аксиальный (свободный) вектор, он направлен вдоль оси вращения, не связан с определенной линией действия, его можно переносить в

пространстве параллельно самому себе.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется проекция вектора на эту ось (проходящую через точку О):

.

Если на тело действуют несколько сил, то результирующий момент сил относительно неподвижной оси Z равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой оси.

Вращающееся тело можно представить как совокупность материальных точек.

Выберем произвольно некоторую точку с массой m_i , на которую действует сила , сообщая точке ускорение (рис. 4). Поскольку вращение создает только тангенциальная составляющая, для упрощения вывода направлена перпендикулярно оси вращения.

В этом случае .

Согласно второму закону Ньютона . Умножим обе части равенства на r_i:

,

,

где - момент силы, действующей на материальную точку,

- момент инерции материальной точки.

Следовательно, .

Для всего тела: , ,

, (1)

т.е. угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту действующих на него внешних сил и обратно пропорционально его моменту инерции. Уравнение

(1) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, или второй закон Ньютона для вращательного движения.

3. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия: .

Аналогом импульса является момент импульса. Понятие момента импульса также можно ввести относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О равен векторному произведению радиуса-вектора , проведенного из полюса О к данной материальной точке, на ее импульс :

.

Моментом импульса относительно неподвижной оси называется проекция вектора на эту ось.

Если материальная точка вращается вокруг неподвижной оси, то её момент импульса относительно этой оси по модулю равен

где m_i - масса материальной точки, _i - её линейная скорость r_i - расстояние до оси вращения.

Т.к. для вращательного движения ,

,

,

где - момент инерции материальной точки относительно этой оси.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси равен сумме моментов импульсов всех его точек относительно этой оси:

, (2)

где - момент инерции тела.

Т.о., момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость и сонаправлен с вектором угловой скорости (рис.5).

Продифференцируем уравнение (2) по времени:

или . (3)

Уравнение (3) - ещё одна форма основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента

импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равна моменту внешних сил относительно той же оси.

В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю:

Выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы есть величина постоянная.

Если момент импульса сохраняется, то сохраняется и положение оси вращения тела, поэтому вращающееся тело при отсутствии внешних моментов устойчивее неподвижного. Это учитывается при изготовлении нарезного оружия, поскольку оно дает лучшую прицельность, чем гладкоствольное. Выпущенный из нарезного орудия снаряд вращается вокруг своей продольной оси и поэтому его полет является устойчивым.

Закон сохранения момента импульса был впервые сформулирован в 1746 г отечественным ученым Л.Эйлером. Применив этот закон к военному делу, генерал артиллерии Майевский в середине 19 века разработал научно обоснованную теорию прицельной стрельбы снарядами из нарезных орудий.

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Эту ось называют осью гироскопа. Если гироскоп закреплен так, что на него не действуют моменты внешних сил, то он называется свободным. Такой гироскоп обладает важным свойством сохранять неизменным направление . Это используется как указатель фиксированного направления в пространстве. Массивные гироскопы применяются в качестве стабилизаторов прямого действия (например, стабилизатор качки судов). Легкие гироскопы используются в качестве стабилизаторов непрямого действия; они выполняют роль чувствительного элемента, передающего сигналы двигателям привода соответствующих рулей. Гироскопы широко используются и в навигационных приборах: гирокомпасы, гирогоризонты, указатели поворотов и т.п., их достоинство - они не зависят от магнитных полей.

Гироскопы используются в системах управления и стабилизации ракет, кораблей и т.д., применяются для стабилизации орудийных установок на кораблях и танках, являются основными элементами в измерительных устройствах приборов, управляющих полетом ракеты (гироскопы направления, гировертикали, гиротахометры, интегрирующие гироскопы, гиростабилизаторы).