4. Система уравнений Максвелла.

I. Максвелл предположил, что переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве переменное вихревое электрическое поле (рис. 6), причем напряженность этого вихревого электрического поля связана с изменением магнитного поля следующим образом:

,

циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром, взятой со знаком «минус».

Т.о. первое уравнение Максвелла в интегральной форме является обобщением закона Фарадея для электромагнитной индукции. Максвелл обобщил понятие электромагнитной индукции:

(если контур неподвижен, операции можно менять местами).

Поэтому 1-е уравнение Максвелла можно записать в виде:

.

Это уравнение показывает, что источником электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля.

II. Магнитное поле образуется движущимися электрическими зарядами, токами проводимости и смещения. Анализируя эти факты, Максвелл пришел к выводу, что всякое изменяющееся электрическое поле порождает переменное магнитное поле (магнитоэлектрическая индукция). Максвелл обобщил закон полного тока, добавив к току проводимости ток смещения, и установил связь между напряженностью магнитного поля и величиной создающих его токов:

.

Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и смещения, охватываемых этим контуром.

Т.к.

.

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменным электрическим полем.

Оно подтверждает неразрывность электрических и магнитных явлений. Явление порождения токами проводимости и смещения в пространстве вихревого магнитного поля называется магнитоэлектрической индукцией.

Из сравнения уравнений Максвелла следует:

1. электрическое и магнитное поля взаимосвязаны: изменение во времени электрического поля вызывает появление магнитного поля, а переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле;

2. различие в знаках правых частей уравнений Максвелла соответствует закону сохранения энергии и правилу Ленца.

Если бы знаки при были одинаковы, то бесконечно малое увеличение одного из полей вызвало бы неограниченное возрастание обоих полей (и наоборот, до полного исчезновения обоих полей). Указанное различие в знаках является необходимым условием существования устойчивого электромагнитного поля.

Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля включает в себя теорему Гаусса для электрического и магнитного полей:

Итак, полная система уравнений Максвелла включает 4 уравнения. Величины, входящие в эти уравнения, не являются независимыми и между ними существует связь. Поэтому система уравнений Максвелла дополняется уравнениями, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды. Для изотропной среды они имеют вид:

.

Для решения системы уравнений Максвелла необходимо также задание граничных и начальных условий для векторов

При заданных граничных и начальных условиях система уравнений Максвелла имеет единственное решение.

Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем (и наоборот), т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом и образуют единое электромагнитное поле, способное распространяться в пространстве с конечной скоростью. Это позволило Максвеллу предсказать существование электромагнитных волн и создать электромагнитную теорию света.

Таким образом, теория Максвелла приводит к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.