
- •Тверской государственный технический университет
- •Внутри машинное представление «данных».
- •1. Основные сведения о информации.
- •2. Системы счисления и кодирования информации
- •3.Структура и общие принципы организации запоминающих устройств, использующихся для внутри машинного размещения информации
- •5. Примеры внутри машинного представления значений переменных в основных форматах данных
- •6.Требования к выполнению и оформлению пояснительной записки расчетно-графической работы
- •Приложения
- •Тверской государственный технический университет
- •Тверь 2011
- •Библиографический список
- •1. Основные сведения о информации…………..….…………...………………4
2. Системы счисления и кодирования информации
2.1. Системы счисления и правила перевода чисел из одной системы счисления в другую
Понятие системы счисления (СС) связано и определяется через ее основание «d». В свою очередь основание СС – это количество цифр, которое используется для представления чисел в данной системе счисления. Отсчет цифр начинается с «0». Примеры различных СС и цифр, которые используются для представления чисел в различных СС:
d=5: 0, 1, 2, 3, 4
d=8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
d=1: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
d=16: 0, 1, 2, 3, 4, ,5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Для уточнения системы счисления, в которой представляется какое-либо число, значение основания СС «d» записывается справа от самого числа, на месте индекса числа. Так, например, если необходимо подчеркнуть, что число 34 215 представлено в 8-й СС, его можно записать в следующем виде: 342158. Существует формула десятичного эквивалента числа, представленного в СС с основанием «d»:
(anan-1an-2…a2a1,b1b2…bm )d = andn-1 + an-1dn-2 + …+ a2d1 + a1d0 + b1d-1 +
+ b2d-2 +…+ bmd-m
где ai – цифры целой части числа, bj – цифры дробной части числа.
При помощи данной формулы можно не только найти десятичный эквивалент числа представленного с основанием «d», но и сравнить числа, представленные в системах счисления, с разными основаниями.
Поскольку в ЭВМ используются три системы счисления, d1 = 2, d2 = 10 и d3 = 16, то, безусловно, должны быть правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. Такие правила существуют, в ЭВМ они выполняются программно. Переводы чисел из СС с основанием «S» в СС с основанием «Н» для целых и дробных чисел выполняются по самостоятельным правилам. Ограничений на значения «S» и «Н» не существует.
Правило перевода целых чисел: для того чтобы число, представленное в старой «S» СС, перевести в новую СС с основанием «Н», необходимо само число и получающиеся частные от деления делить на основание «Н» новой СС, представленное в старой «S»-ой СС, до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания «Н» новой СС. Цифрами числа в новой «Н»-ой СС будут остатки частичных делений, записанные в порядке, обратном их получению. Пример: перевести целое число 3756110 из системы счисления S = 10 в систему счисления Н =8:
37561
8 3756110=913168
32
4697 8
55
40 587 8
48
69 56 73 8
76 64 27 72 9
72
57 24 1
61 56 3
56
1
6
Правило перевода дробных чисел: для перевода дробного числа из СС с основанием «S» в СС с основанием «Н», необходимо дробную часть самого числа и дробные части получающихся частичных произведений умножать на основание «Н» новой СС, представленное в старой «S» СС. Цифрами дробного числа в новой «Н» СС будут целые части получившихся частичных произведений, записанные в порядке их получения. Пример: перевести число 0,73110 из системы счисления с основанием S = 10 в систему счисления с основанием Н = 2.
0
731
*2
1
462
*2
0 924
*2
1
848
*2
1 696
*2
1 392
*2
0
784
*2
1
568
0,73110= 0,10111012
В машинной арифметике используется также система кодирования «8421», при помощи которой устанавливается связь между цифрами 8-, 10- и 16-ричными СС и их двоичным представлением при помощи четырехразрядного двоичного числа (табл. 2.1):
(a4а3а2а1)2 = 23а4 + 22а3 + 21аа1 + 20а1 = 8а4 + 4а3 + 2а2 + 1а1
8, 4, 2, 1 – это весовые коэффициенты двоичных разрядов α4, α3, α2, α1 соответственно. Поскольку цифра 2 является основанием и двоичной СС, и целых степеней, являющихся одновременно основаниями 8- и 16-ричной систем счисления: 8 = 23, 16 = 24, то в двоичной арифметике доказаны и сформулированы упрощенные правила перевода чисел из двоичной СС в 8- и 16-ричную и, наоборот, из 8- и 16-ричной СС в двоичную.
Таблица 2.1
Система кодирования «8421»
|
Цифры |
Весовые коэффициенты разрядов | |||||||||||||
|
|
|
а4 |
а3
|
а2
|
а1
| |||||||||
|
|
|
8 |
4 |
2 |
1 | |||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | ||||||||
1 |
0 |
0 |
0 |
1 | |||||||||||
2 |
0 |
0 |
1 |
0 | |||||||||||
3 |
0 |
0 |
1 |
1 | |||||||||||
4 |
0 |
1 |
0 |
0 | |||||||||||
5 |
0 |
1 |
0 |
1 | |||||||||||
6 |
0 |
1 |
1 |
0 | |||||||||||
7 |
0 |
1 |
1 |
1 | |||||||||||
|
8 |
1 |
0 |
0 |
1 | ||||||||||
9 |
1 |
0 |
0 |
1 | |||||||||||
|
А |
1 |
0 |
1 |
0 | ||||||||||
B |
1 |
0 |
1 |
1 | |||||||||||
C |
1 |
1 |
0 |
0 | |||||||||||
D |
1 |
1 |
0 |
1 | |||||||||||
E |
1 |
1 |
1 |
0 | |||||||||||
F |
1 |
1 |
1 |
1 |
Правило
перевода из 8-ричной СС в 2-ичную СС:
для перевода чисел достаточно каждую
восьмеричную цифру заменить триадой
двоичных разрядов в целой и дробной
частях числа в соответствии с табл. 2.1.
Пример: число 7321,038 перевести в двоичную СС:
7 3 2 1 , 0 38
111 011 010 001 , 000 011
7321, 038 = 111 011 010 001, 000 0112
Правило перевода из 2-ичной СС в 8-ричную СС: для перевода чисел, представленных в 8-ричной СС, в двоичную СС достаточно разбить разряды целой и дробной части числа вправо и влево от запятой на триады двоичных разрядов и каждую триаду заменить ее восьмеричным эквивалентом в соответствии с табл. 2.1. Пример: число 10111011101, 10110112 перевести в 8-ричную СС:
10 111 011 101, 101 101 12 = 2735, 5548
Правило перевода из 16-ричной СС в 2-ичную СС: для перевода чисел, представленных в 16-ричной СС, в двоичную достаточно каждую 16-ричную цифру в целой и дробной частях числа заменить тетрадой двоичных разрядов в соответствии с табл. 2.1. Пример: число АВ30Е, С6716 перевести в двоичную СС:
А В 3 0 Е , С 6 716
1010 1011 0011 0000 1110, 1100 0110 01112
АВ30Е, С6716 = 10101011001100001110, 110001101112
Правило перевода из 2-ичной СС в 16-ричную СС: для перевода чисел, представленных в двоичной СС, в 16-ричную достаточно целую и дробную части двоичного числа разбить на тетрады двоичных разрядов вправо и влево от запятой, а затем каждую тетраду заменить ее 16-ричным эквивалентом в соответствии с табл. 2.1. Пример: число 110111010111101,1011111011000012 перевести в 16-ричную СС:
110 1110 1011 1101, 1011 1110 1100 00102
6 Е В D , В Е С 216
110111010111101, 1011111011000012 = 6ЕВD, ВЕС216
2.2. Принципы кодирования алфавитно-цифровой информации
В повседневной жизни вне ЭВМ для обмена информацией используется 196 различных символов. Это графические символы: буквы строчные и прописные русского и латинского алфавитов, десятичные цифры, знаки препинания, знаки арифметических и логических операций, разделительные знаки и т. д., – а также управляющие символы: переход на новую строку “enter”, уничтожение символов – “delete”, управление курсором и т. д. Исходя из технических возможностей электронных устройств внутри ЭВМ, все символы могут иметь только двоичное представление. При помощи формулы (1.1) устанавливается связь между количеством двоичных разрядов N в двоичном коде и количеством неповторяющихся уникальных комбинаций двоичных кодов H.
В настоящее время в ЭВМ используются 7- и 8-разрядные двоичные коды КОИ-7 и ДКОИ:
-КОИ-7 – код обмена информацией семибитный представляется в виде двух таблиц КОИ-7Н0 и КОИ-7Н1 (приложение 1). Таблица КОИ-7Н0 содержит буквы регионального алфавита, в нашей стране – русского, КОИ-7Н1 содержит буквы латинского алфавита. Суммарные возможности обеих таблиц – 256 различных семибитных кодов, что превышает количество используемых 196 символов, используемых вне ЭВМ в повседневной практике. Код КОИ-7 традиционно используется для представления информации на дисплеях. На каждой клавише клавиатуры размещено от одного до четырех символов, закодированных при помощи таблиц КОИ-7Н0 и КОИ-7Н1. Переход с одной таблицы кодировки информации на другую осуществляется при помощи специальной клавиши, которая обеспечивает смену регистра с верхнего на нижний и наоборот. Сама операция «смены состояния регистра» является управляющим символом и также имеет 7-битный код, зафиксированный в таблицах КОИ-7Н0 и КОИ-7Н1 и размещаемый в цепочках набираемой информации при вводе ее с клавиатуры. Подобное «плотное» размещение вводимой вне машинной, символьной информации на клавиатуре вызвано эргономическими соображениями – удается избежать увеличения габаритных размеров клавиатуры, что особенно актуально для переносных и карманных ПК.
-ДКОИ – это внутри машинный восьмиразрядный двоичный код обмена и обработки информации. Таблица кода ДКОИ содержит 16 строк и 16 столбцов (приложение 2). Поскольку возможности восьмиразрядного двоичного кода перекрывают потребности 196 вне машинных символов, то в ней содержится порядка 25% пустых «вакантных» клеточек для каких- либо других символов, в настоящее время не используемых.
Кроме символьной информации, основной массе людей приходится в повседневной жизни сталкиваться с числовой информацией, выполнять над числами арифметические операции. Принципы внутри машинного представления и символьной, и числовой информации менялись при переходе от одного поколения ЭВМ к другому. В рамках данного учебного пособия, безусловно, имеет смысл говорить о внутри машинном представлении информации в современных ЭВМ 4-го поколения. Для представления числовой информации используются три системы счисления: десятичная, двоичная и шестнадцатеричная. Алгоритмы выполнения арифметических операций двоичной арифметики, реализованные в современных ЭВМ, требуют наличия внутри машинного представления числовой информации в специальных двоичных кодах:
Прямой код (ПК).
Обратный код (ОК).
Дополнительный код (ДК).
Модифицированный прямой код (МПК).
Модифицированный обратный код (МОК).
Модифицированный дополнительный код (МДК).
Поскольку настоящее пособие посвящено рассмотрению вопросов, связанных только с внутри машинным представлением информации, то целесообразно рассмотреть три первых кода ПК, ОК и ДК. Коды МПК, МОК и МДК используются непосредственно в физических процессах выполнения арифметических операций. Специальные коды чисел состоят из двух частей, знаковой и числовой, отделенных друг от друга разделительным знаком «.» или «,». Для чисел, по модулю меньших «1», знаковая часть кода занимает место слева от разделительного знака и совпадает с младшим разрядом целой части числа, числовая часть кода находится справа от разделительного знака.
Прямой код (ПК) числа «Х» – это:
Х,
если X
≥ 0
[X]ПК =
1-Х, если X ≤ 0.
[X]ПК положительного числа совпадает с самим числом, отрицательного – имеет иное представление. Представление двоичных чисел специальными кодами позволяет осуществить кодировку знаков числа «+» и «–» при помощи двоичных цифр «0» и «1». ПК для двух одинаковых по абсолютному значению и имеющих противоположные знаки двоичных чисел Х1 = +0,10112 и Х2 = –0,10112 будут иметь совершенно разное представление:
[X1]ПК = 0,1010, [X2]ПК = 1 – (-0,1011) = 1.1011
Обратный код (ОК) числа получается из его прямого кода. Если число положительное, то значение его ОК совпадает с ПК, если число отрицательное, то для получения его ОК необходимо в знаковом разряде кода ПК установить значение «1», а разряды числовой части проинвертировать, т. е. выполнить поразрядно логическую операцию «НЕ».
Дополнительный код ДК числа получается из его обратного кода. Если число положительное, то значение его ДК совпадает с ПК, если число отрицательное, то для получения его ДК достаточно прибавить «1» к младшему разряду его ОК.
МПК, МОК и МДК отличаются от обычных кодов ПК, ОК и ДК наличием двух знаковых разрядов: коды положительных чисел будут содержать в знаковых разрядах «00», отрицательных – «11». Как указывалось выше, отличие МПК, МОК, МДК от ПК, ОК, ДК обусловлено их использованием в алгоритмах выполнения арифметических операций. Для размещения в ОП используется ПК, ОК и ДК.
«Данные» – это зарегистрированные сигналы, которые несут в себе информацию о событиях, произошедших в материальном мире. Информацию можно считать особым видом ресурса, т.е. запаса некоторых сведений об объекте. Однако, в отличие от материальных ресурсов, информация является неистощимым ресурсом и предполагает существенно иные методы представления, воспроизводства и обновления. Один байт является наименьшей, неделимой частицей любого компонента информации.