3.6. Теорема об изменении момента количества движения (теорема моментов).

Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора (m) оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Момент вектора m относительно данного центра О или оси z обозначается ии называется моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектораm так же, как и момент силы. При этом вектор m считается приложенным к движущей точке. По модулю , гдеh – длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора m.

Рис. 3.6

Теорема моментов относительно оси.

Рассмотрим материальную точку массы m, движущуюся под действием силы . Найдем для нее зависимость между моментами векторовm и относительно какой-либо неподвижной осиz. По полученным ранее формулам (статика)

(*)

Аналогично и для момента , если вынестиm за скобку

.

Беря от обеих частей этого равенства производные по времени, находим:

.

В первой части первая скобка равна 0, так как .

Вторая скобка согласно формуле (*) равна , так как по основному закону динамики.

Окончательно имеем

(28)

Полученное уравнение выражает теорему моментов относительно оси: производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-нибудь оси равна моменту действующей силы относительно той же оси.

Из уравнения (28) следует, если , то.

Теорема моментов относительно центра.

Ранее было показано, что

Аналогично

.

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор, а вектор- перпендикулярен плоскости, проходящей через центр О и вектор.

Дифференцируем выражение по времени:

,

но , как вектор производной двух параллельных векторов,. Следовательно

или

(29)

Теорема моментов.

Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-либо неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

4. Прямолинейные колебания точки

4.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления.

Рассмотрим точку М, движущуюся под действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к неподвижному центру и пропорциональной расстоянию от этого центру.

Проекции силы на ось Ox будет равна

Сила, как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где

Рис. 3.7

Найдём закон движения точки С, составим дифференциальные уравнения движения

(30)

Деля обе части на m и вводя обозначение

приведём уравнение к виду

(31)

Уравнение (31) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого однородного дифференциального уравнения ищут в виде . Полагая в уравнении (31) , получим для определения n так называемое характеристическое уравнение, имеющее в данном случае вид: .

Общее решение уравнения (31) имеет вид:

(32)

Если вместо постоянных и ввести постоянные и, такие, что, , то получим:

или

(33)

Скорость точки в рассматриваемом движении

(34)

Колебания, совершаемые точкой по закону (32), называется гармоническими колебаниями. График их при

Рис. 3.8

Рассмотрим точкуB, равномерно на окружности из скольжения, определяется углом . Пусть постоянная угловая скорость вращение радиусов равна . Тогда в произвольный момент t угол и легко увидеть, что проекция М точки В на диаметр движется по закону . Величина а – называется амплитудой колебаний - фазой колебаний. Величина определяет фазу начала колебаний (начальная

Рис. 3.9 фаза). Величина называется круговой частотой

колебаний.

Промежуток времени Т в течении которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на . Следовательно откуда

(35)

Величина - частота колебаний.

Отметим, что свободные колебания при отсутствии сопротивления обладают следующими свойствами:

1. амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий

2. частота k, а следовательно и период Т от начальных условий не зависят.

Рассмотрим влияние постоянной силы на свободные колебания точки.

Пусть на точку М кроме восстанавливающей силы F действует постоянная по модулю и направлению сила Р. Величина силы F по прежнему пропорциональна расстоянию от центра О, т.е. .

Очевидно, что в этом случае положением точки М будет центр, отстраненной от оси О на расстояние , которое определяется равенством

или (36)

- статическое отклонение точки.

Рис. 3.10

Примем за начало отсчёта, тогда будет , и учитывая будем иметь или , что полностью совпадает с уравнением (31).

Постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемой точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения .

Из (36) и (30) имеем

Тогда равенство (35) даст (37)

В частности, если Р – сила тяжести , то формула (34) имеет вид:

(37^/)